不交并

在集合论，一组集合的不交并指的是一种修改过的并集运算，除了普通的并集，还标记了元素的来源。不交并还有另一个意义，指的是两两不交的集合的并集。

设${\displaystyle I}$ + 表示两个集合的不交并。这个记法本意是暗示不交并的基数是该集合族中所有集合的基数之和。

在另一个定义下，若{ : ∈ }是一个集合族，不交并定义为

不交并的元素是有序对 (, )。此处 标记着 的来源是哪个 。

设集合${\displaystyle A_1=\{1,2,3\}}$，${\displaystyle A_2=\{4,5,6\}}$，${\displaystyle A_3=\{7,8,9\}}$，${\displaystyle A_4=\{1,3,5\}}$，${\displaystyle A_5=\{2,4,6\}}$，则${\displaystyle A_1\cup <!--\; \cup \; -->A_2\cup <!--\; \cup \; -->A_3}$与${\displaystyle A_4\cup <!--\; \cup \; -->A_5}$是不交并，而${\displaystyle A_1\cup <!--\; \cup \; -->A_3\cup <!--\; \cup \; -->A_5}$则不是不交并，因为${\displaystyle A_1\cap <!--\; \cap \; -->A_5=\{2\}}$不是空集。

设指标集为整数集${\displaystyle \mathbb{Z}}$，定义集合族：为一个指标集，${\displaystyle \{A_i;i\in <!--\; \in \; -->I\}}$是一个集合族，则首先定义：

这样，新的集合族${\displaystyle \{A_i^{\ast <!--\; \ast \; -->};i\in <!--\; \in \; -->I\}}$中的每个${\displaystyle A_i^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$中的元素都和${\displaystyle A_i}$元素一一对应。然而如果原来有某个元素x是某些集合的共有元素，例如${\displaystyle \mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}J\subset <!--\; \subset \; -->I,J\ne <!--\; \ne \; -->\mathrm{\varnothing <!--\; \varnothing \; -->}}$，使得${\displaystyle \mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}j\in <!--\; \in \; -->J,x\in <!--\; \in \; -->A_j}$，那么在新的集合族中，这些集合中的x分别变成了${\displaystyle (j,x),j\in <!--\; \in \; -->J}$，不再是同一个元素了。因此，新的集合族中，任两个集合的交集必然是空集。这样，并集：

就成为了不交并。

设指标集为正整数集${\displaystyle {\mathbb{Z}}^{+}}$。定义集合，则它们之间两两交集并不为空集。比如说${\displaystyle \frac{3}{4}=\frac{3}{2^2}}$属于${\displaystyle A_2}$，但也属于${\displaystyle A_3}$，因为${\displaystyle \frac{3}{4}=\frac{6}{2^3}}$。定义

则其中任两个元素都不相同，于是任两个集合交集为空集。所以不交并为：

在不至于混淆的情况下，也被直接记作：

在范畴论的语言中无交并是集合范畴的余积（英语：Coproduct），因此它满足相应的泛性质。这也意味着不交并是笛卡尔积的对偶（英语：Dual (category theory)）。:60