整数模n乘法群

在同余理论中，模 的互质同余类组成一个乘法群，称为整数模 n 乘法群，也称为模 n 既约剩余类。在环理论中，一个抽象代数的分支，也称这个群为整数模 n 的环的单位群（单位是指乘法可逆元）。

这个群是数论的基石，在密码学、整数分解和素性测试均有运用。例如，关于这个群的阶（即群的“大小”），我们可以确定如果 是质数当且仅当阶数为 -1。

容易验证模 互质同余类在乘法运算下满足阿贝尔群的公理。

整数模 环记作 ${\displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$Z = () ，由 的倍数组成）或 ${\displaystyle {\mathbb{Z}}_n.}$, > 2 也成立：${\displaystyle \{\pm <!--\; \pm \; -->1,2^{k-<!--\; -\; -->1}\pm <!--\; \pm \; -->1\}\cong <!--\; \cong \; -->C_2\times <!--\; \times \; -->C_2,}$- 2 子群，所以 ${\displaystyle (\mathbb{Z}/2^k\mathbb{Z}{)}^{\times <!--\; \times \; -->}\cong <!--\; \cong \; -->C_2\times <!--\; \times \; -->C_{2^{k-<!--\; -\; -->2}}}$，此群是循环群： ${\displaystyle (\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}{)}^{\times <!--\; \times \; -->}\cong <!--\; \cong \; -->C_{p^{k-<!--\; -\; -->1}(p-<!--\; -\; -->1)}\cong <!--\; \cong \; -->C_{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(p^k)}.}$ 和 互质，${\displaystyle a^{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}(n)}\equiv <!--\; \equiv \; -->1(\mathrm{mod}n).}$ 为奇质数的幂次、奇质数幂次 2 倍、2 和 4 成立，此时也称一个生成元为模 n 的原根。

因为所有 ${\displaystyle (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times <!--\; \times \; -->},}$ = 1, 2, ..., 7 是循环群，上述结论的另一种说法是：如果 < 8 那么 ${\displaystyle (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times <!--\; \times \; -->}}$ ≥ 8，且不能被 4 或者两个不同的奇质数整除，${\displaystyle (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times <!--\; \times \; -->}}$ ${\displaystyle (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times <!--\; \times \; -->}}$）的，比如 (mod 16) 时 {–1, 3} 和{–1, 5} 都可以。生成元以和直积因子相同的顺序列出。

以 =20 为例。${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(20)=8}$ × 3 的形式，这里 为 0 或 1， 为 0, 1, 2, 或 3。

19 的幂是 {±1}，3 的幂为 {3, 9, 7, 1}。后者和他们的负数 (mod 20)，{17, 11, 13, 19} 是所有小于 20 且与其互质的数。19 的指数为 2 而 3 的指数为 4 意味着任何 ${\displaystyle {\mathbb{Z}}_{20}^{\times <!--\; \times \; -->}}$ 中数的 4 次幂 ≡ 1 (mod 20)。

Lenstra 椭圆曲线分解（en:Lenstra elliptic curve factorization，Lenstra 给出的基于椭圆曲线的整数因子分解算法）

高斯的算术研究（Disquisitiones Arithemeticae）由西塞罗拉丁语翻译成英语和德语。德语版包含他所有数论的论文：所有关于二次互反律的证明，高斯和符号的确定，双二次互反律的研究以及未发表的笔记。