泊松回归

在统计学上，泊松回归（英语：Poisson regression）是用来为计数资料和列联表建模的一种回归分析。泊松回归假设反应变量Y是泊松分布，并假设它期望值的对数可由一组未知参数进行线性表达。当其用于列联表分析时，泊松回归模型也被称作对数-线性模型。泊松回归模型是广义线性模型（GLM）的一种，以对数变化作为连接函数（canonical function），该模型的假设之一是其被解释变量服从泊松分布。x ∈ R n {displaystyle mathbf {x} in mathbb {R} ^{n}} 代表由一组相互独立的变量组成的向量，其泊松回归的模型形式为:log ⁡ ( E ⁡ ( Y ∣ x ) ) = α + β ′ x , {displaystyle log(operatorname {E} (Ymid mathbf {x} ))=alpha +mathbf {beta } 'mathbf {x} ,} α ∈ R {displaystyle alpha in mathbb {R} } ， β ∈ R n {displaystyle mathbf {beta } in mathbb {R} ^{n}} .亦可简洁表示为： log ⁡ ( E ⁡ ( Y ∣ x ) ) = θ ′ x , {displaystyle log(operatorname {E} (Ymid mathbf {x} ))={boldsymbol {theta }}'mathbf {x} ,,}此处， x {displaystyle mathbf {x} } 是 n+1维的向量，由n个独立变量（自变量向量）一个常向量（元素取值全为1）构成，用一个θ 代表第一个表达式当中的 α 和 β。因此，当已知泊松回归模型当中的 θ和解释变量 x {displaystyle mathbf {x} } , 其满足泊松分布的被解释变量的期望值可以由下式来预测：Yi 是被解释变量的观测值，相应的解释变量为 xi ，可由极大似然估计（MLE）的方法来估计参数θ。 极大似然估计不能通过解析表达式获得解析解，是由其对数似然函数为凸函数的特性，可通过Newton–Raphson或其他基于梯度下降的思想方法来进行参数估计。如上所述，已知泊松回归模型当中的 θ和解释变量 x {displaystyle mathbf {x} } , 其回归表达式为：泊松分布的概率密度函数为：现已知解释变量的观测值为由 m个向量组成 x i ∈ R n + 1 , i = 1 , … , m {displaystyle x_{i}in mathbb {R} ^{n+1},,i=1,ldots ,m} , 对应 m 个被解释变量的观测值， y 1 , … , y m ∈ R {displaystyle y_{1},ldots ,y_{m}in mathbb {R} } . 若同时已知θ, 则该组观测值所对应的联合概率可由下式表达：极大似然方法估计 θ的核心思想是，去找到能使得基于当前观测值的联合概率尽可能达到最大的θ。（可理解为：变量的取值当前观测值，与取值为其他任何数值相比，是发生概率最高的事件）。 既然目标是寻找到最优的θ，可以先将上式的等号左边简单表达为关于θ 的表达式：注意等号右边的表达式并未改写，但通常难于付诸计算，因而采用其对数变化后的表达式（ log-likelihood）即：由于 θ 仅出现在似然函数的前两项，因而在极大化似然函数的运算过程中，可以只考虑前两项。可以删去第三项yi!，待优化的似然函数可以简洁表达为：ℓ ( θ ∣ X , Y ) = ∑ i = 1 m ( y i θ ′ x i − e θ ′ x i ) {displaystyle ell (theta mid X,Y)=sum _{i=1}^{m}left(y_{i}theta 'x_{i}-e^{theta 'x_{i}}right)} .为了找到极大值，需要求解方程：∂ ℓ ( θ ∣ X , Y ) ∂ θ = 0 {displaystyle {frac {partial ell (theta mid X,Y)}{partial theta }}=0}可以通过对其似然函数取负值 （negative log-likelihood）, − ℓ ( θ ∣ X , Y ) {displaystyle -ell (theta mid X,Y)} 是一个凸函数, 标准的凸优化方法可以考虑来求解 θ的最优值。统一的方法是Newton-Raphson 与Iterative Weighted Least Square（IWLS）算法。 给θ一组初始值，IWLS 是通过多次迭代更新直到θ 收敛。泊松回归常用于被解释变量为计数（Count）形式时，包括事件发生的次数，比如：客服中心接到的电话次数。其满足相互独立的假设。在此例子中，即为：拨打客服电话的人们之间不存在相互关联。不会因为甲拨打了客服，而影响乙拨打的可能性。但在建模时，需要考虑统计该事件发生的时期，比如目标变量统计的是一天接到的电话次数，还是一个星期，或者一个月。这个时期的数据作为回归模型中的抵消值，在下面解释。泊松分布也可以适用于比率数据，即事件发生次数与其测量时间或测量范围的比值。比如生物学家测量某森林中树木种类的数目， 比率变量即为每平方千米的树木种类数。人口学家关注的是每个人口年（person-year）的人口死亡数。通常来说，比率变量表达的是单位时间内该事件发生的次数。这些例子中，平方米”，“人口年”这些变量就是所谓的"曝光量"（Exposure）。泊松回归中将其视为偏移量放在等式右边。which implies在R中运行广义线性模型时，可用offset()来指定表示“曝光量”的变量:服从泊松分布的变量,具有期望与方差相等的特征。若观测样本的方差远大于期望值的时，则认为存在过度离势，当前的模型不合理。其常见的原因是缺失重要的解释变量。解决该问题的方法，通常采用准似然估计（quasi-likelihood） 或者负二项分布来估计。泊松回归的另一个常见的问题是零膨胀zero-inflated model。标准的泊松分布其定义域为非负整数，被解释变量y取值为0的概率为：但如果观测样本中添加大量的0，则取值为0的频率远大于理论概率，此时不适宜直接采用泊松回归。比如观测一组人在一小时内的吸烟情况，目标变量是每人吸了多少根烟。但当观测人群中有大量的非吸烟者，就会有过多的目标变量为0， 这就是零膨胀。可以采用其他的广义线性模型，比如负二项分布负二项分布来建模，或者零膨胀模型zero-inflated model 来解决。