共变导数

数学上，共变导数或称协变导数是在流形上定义沿着向量场的导数的方法之一。

事实上，除了引入的风格不同之外，共变导数和联络没有实质上的区别。

在黎曼和伪黎曼流形理论中，共变导数通常指列维-奇维塔联络。

这里，我们给出一个向量相对于向量场的共变导数(也称为张量导数)的传统的带指标记号的简介；张量的共变导数是同一概念的推广。

本条目中，我们使用爱因斯坦记号。我们假设读者熟悉微分流形的概念特别是关于切向量的概念。

向量u的沿着向量v的共变导数 ${\displaystyle \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}$ 的向量(比如说加速度，不在图中)可以表达在坐标系${\displaystyle ({\mathbf{e}}_r,{\mathbf{e}}_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}})}$。如果我们沿着无穷小闭曲面依次沿着两个不同方向然后返回，我们会看到同样的现象。向量的无穷小变化是曲率的一个测量。

定义中的向量 u 和 v 是定义在同一点 的。而且共变导数${\displaystyle {\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}}$ 的一个向量。

共变导数的定义不用空间的度量。但是，一个给定的度量唯一的确定了一个特殊的共变导数，称为列维-奇维塔联络。

导数的性质暗示者${\displaystyle {\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}}$周围的情况，就像标量函数在一点沿着曲线的导数依赖于点周围一样。

共变导数在一个固定的坐标图中，可以用张量描述，但是它不是一个张量，因为它不是在坐标变换下不变的。

在共变导数中关于点 围的信息可以用来定义向量的平行移动。而且曲率，挠率和测地线也可以只用共变导数来定义。

偶尔，术语“共变导数”指一个一般向量丛沿着基空间的一个切向量的截面的导数；参看“联络形式”中的“向量丛”的有关章节。

给定一个函数${\displaystyle f}$和由下列性质定义:

注意${\displaystyle {\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}}$依赖于v在点的值以及u在的一个邻域的值，因为最有一个性质乘积法则的要求。这表示共变导数不是一个张量。

给定余向量场(或者说1-形式) ${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$，其中Γk 是分量（参看爱因斯坦记号)。 要给定共变导数，给定每个基向量场e 沿着e的共变导数就可以了

系数Γk_{i j}称为克里斯托费尔符号。然后使用定义中的规则，我们发现对于一般的向量场 ${\displaystyle \mathbf{v}=v^i{e}_i}$的分量的变化。特别的有

用语言描述的话: 共变导数是一般的沿着坐标的导数加上关于坐标改变的校正项。在物理教科书中，共变导数有时只用这个方程中的分量形式表述。

一个常用的记法是，用一个分号表示共变导数，而用一个逗号表示普通导数。在这个记号下，我们把同样的公式写作::

这再次表明了向量场的共变导数不仅仅是从沿着坐标的微分中得到 ${\displaystyle v^i{}_{,j}}$，而且是通过${\displaystyle v^k{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^i{}_{kj}}$依赖于向量v本身的。