匹配渐近展开法

匹配渐近展开法（英语：method of matched asymptotic expansions）是数学中用于获得方程或方程组高精度近似解的一种常用方法，尤其常用于奇异摄动微分方程的求解。

对于许多奇异摄动问题而言，可以将定义域分成两个或多个部分。其中一部分（通常是范围最大的部分）可以通过正则摄动理论获得渐近展开级数解。然而这个解在其他较小的部分则十分不精确。如果这些部分处于定义域边界上被称为边界层，处于定义域中间则称为内层。可以将边界层或内层内的求解问题当作一个独立的摄动问题处理，以获得相应的“内解”（之前通过正则摄动获得的则称为“外解”）。最后再将内解与外解通过“匹配”的办法合并，以得到在整个定义域内都适用的近似解。

考虑边值问题

其中${\displaystyle y}$(1) 时间变量${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=t/\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$。于是原先的边值问题可以改写为

将两边同乘${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$再取${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}=0}$，得到

该方程的解为

其中${\displaystyle B}$与${\displaystyle C}$为常数。使用边界层内的边界条件${\displaystyle y(0)=0}$，得到${\displaystyle B=C}$。故内解为

由于对于中间大小的${\displaystyle t}$（${\displaystyle \mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}\ll <!--\; \ll \; -->t\ll <!--\; \ll \; -->1}$）需同时满足内解和外解，故可以令内解的外极限与外解的内极限相等，即${\displaystyle \underset{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{y}_I=\underset{t\to <!--\; \to \; -->0}{lim}{y}_O}$。由此得到常数${\displaystyle B=e}$。

最后，将匹配好的内解与外解合并，以得到适用于整个定义域的近似解。具体而言，即是将内解与外解相加，再减去内、外解重合部分的值${\displaystyle y_{\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{p}}}$（即外解的内极限，或内解的外极限）。此问题中，重合部分的值为${\displaystyle e}$。故可以得到原边值问题的最终近似解为