试除法

✍ dations ◷ 2025-12-10 16:09:04 #素性测试,除法,整数分解算法

试除法是整数分解算法中最简单和最容易理解的算法。首次出现于意大利数学家斐波那契出版于1202年的著作。

给定一个合数（这里，是待分解的正整数），试除法看成是用小于等于 ${\sqrt {n}}$ 的因子。因为它检查的所有可能的因子，所以如果这个算法“失败”，也就证明了是个素数。试除法可以从几条途径来完善。例如，的末位数不是0或者5，那么算法中就可以跳过末位数是5的因子。如果末位数是2，检查偶数因子就可以了。

某种意义上说，试除法是个效率非常低的算法，如果从2开始，一直算到 ${\sqrt {n}}$ 有大小接近的素因子（例如公钥密码学中用到的），试除法是不太可能实行的。但是，当有至少一个小因子，试除法可以很快找到这个小因子。值得注意的是，对于随机的，2是其因子的概率是50％，3是33％，等等，88％的正整数有小于100的因子，91％的正整数有小于1000的因子。

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