库普-库珀施密特方程

库普-库珀施密特方程(Kaup-Kupershmidt Equation)是一个非线性偏微分方程：

${\displaystyle \frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{4}u(x,t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^4}+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u(x,t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}+45(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u(x,t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\ast <!--\; \ast \; -->u(x,t{)}^2-<!--\; -\; -->(75/2)\ast <!--\; \ast \; -->\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}u(x,t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u(x,t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}-<!--\; -\; -->15\ast <!--\; \ast \; -->u(x,t)\ast <!--\; \ast \; -->\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{3}u(x,t)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^3}}$

利用Maple软件包TWSolution，随所选定展开函数不同，可得多种行波解

${\displaystyle g:=u(x,t)=-<!--\; -\; -->(2/3)\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)-<!--\; -\; -->(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2){)}^2+(-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)-<!--\; -\; -->(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2){)}^2\ast <!--\; \ast \; -->tanh{(}_{C}1+(-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)-<!--\; -\; -->(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2))\ast <!--\; \ast \; -->x{+}_{C}3\ast <!--\; \ast \; -->t{)}^2}$${\displaystyle g:=u(x,t)=-<!--\; -\; -->(2/3)\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)+(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2){)}^2+(-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)+(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2){)}^2\ast <!--\; \ast \; -->tanh{(}_{C}1+(-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)+(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2))\ast <!--\; \ast \; -->x{+}_{C}3\ast <!--\; \ast \; -->t{)}^2}$${\displaystyle g:=u(x,t)=-<!--\; -\; -->(2/3)\ast <!--\; \ast \; -->((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)-<!--\; -\; -->(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2){)}^2+((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)-<!--\; -\; -->(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2){)}^2\ast <!--\; \ast \; -->tanh{(}_{C}1+((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)-<!--\; -\; -->(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2))\ast <!--\; \ast \; -->x{+}_{C}3\ast <!--\; \ast \; -->t{)}^2}$${\displaystyle g:=u(x,t)=-<!--\; -\; -->(2/3)\ast <!--\; \ast \; -->((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)+(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2){)}^2+((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)+(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2){)}^2\ast <!--\; \ast \; -->tanh{(}_{C}1+((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)+(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2))\ast <!--\; \ast \; -->x{+}_{C}3\ast <!--\; \ast \; -->t{)}^2}$${\displaystyle g:=u(x,t)=-<!--\; -\; -->(4/3)\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->(1/22)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4)-<!--\; -\; -->(1/22\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4){)}^2+2\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->(1/22)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4)-<!--\; -\; -->(1/22\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4){)}^2\ast <!--\; \ast \; -->tanh{(}_{C}1+(-<!--\; -\; -->(1/44)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4)-<!--\; -\; -->(1/44\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4))\ast <!--\; \ast \; -->x{+}_{C}3\ast <!--\; \ast \; -->t{)}^2}$${\displaystyle g:=u(x,t)=-<!--\; -\; -->(4/3)\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->(1/22)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4)+(1/22\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4){)}^2+2\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->(1/22)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4)+(1/22\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4){)}^2\ast <!--\; \ast \; -->tanh{(}_{C}1+(-<!--\; -\; -->(1/44)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4)+(1/44\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4))\ast <!--\; \ast \; -->x{+}_{C}3\ast <!--\; \ast \; -->t{)}^2}$${\displaystyle g:=u(x,t)=-<!--\; -\; -->(4/3)\ast <!--\; \ast \; -->((1/22)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4)-<!--\; -\; -->(1/22\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4){)}^2+2\ast <!--\; \ast \; -->((1/22)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4)-<!--\; -\; -->(1/22\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4){)}^2\ast <!--\; \ast \; -->tanh{(}_{C}1+((1/44)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4)-<!--\; -\; -->(1/44\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4))\ast <!--\; \ast \; -->x{+}_{C}3\ast <!--\; \ast \; -->t{)}^2}$${\displaystyle g:=u(x,t)=-<!--\; -\; -->(4/3)\ast <!--\; \ast \; -->((1/22)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4)+(1/22\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4){)}^2+2\ast <!--\; \ast \; -->((1/22)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4)+(1/22\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4){)}^2\ast <!--\; \ast \; -->tanh{(}_{C}1+((1/44)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4)+(1/44\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2)\ast <!--\; \ast \; -->{11}^{(}3/4))\ast <!--\; \ast \; -->x{+}_{C}3\ast <!--\; \ast \; -->t{)}^2}$

Kaup Kupershmidt eq tanh method animation2

Kaup Kupershmidt eq tanh method animation7

Kaup Kupershmidt eq tanh method animation8

${\displaystyle g:=u(x,t)=-<!--\; -\; -->(1/2){\ast <!--\; \ast \; -->}_C{3}^2-<!--\; -\; -->(1/6)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(-<!--\; -\; -->3{\ast <!--\; \ast \; -->}_C{3}^4-<!--\; -\; -->4)+((1/2){\ast <!--\; \ast \; -->}_C{3}^2+(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(-<!--\; -\; -->3{\ast <!--\; \ast \; -->}_C{3}^4-<!--\; -\; -->4))\ast <!--\; \ast \; -->JacobiSN{(}_{C}2{+}_{C}3\ast <!--\; \ast \; -->x{+}_{C}4\ast <!--\; \ast \; -->t,(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(2{\ast <!--\; \ast \; -->}_C{3}^{}}$