拉比周期

✍ dations ◷ 2025-07-02 10:52:53 #原子物理学,量子光学

在物理学中，拉比周期是在振荡外场中的二能级量子体系的周期性行为。一个二能级系统具有两个可能的状态，如果状态不是简并的，当吸收一份能量以后，体系可以被激发。

这种效应在量子光学、核磁共振和量子计算中非常重要，它是以伊西多·伊萨克·拉比（Isidor Isaac Rabi）的名字命名的。

当一个原子（或者其它二能级体系）被一束相干光照射的时候，它将周期性地吸收光子并通过受激发射重新将光子发射出来，这样一个周期称为拉比周期，它的倒数称为拉比频率（英语：Rabi frequency）。

这种机制是量子光学的基础，其模型的建立可以依据杰恩斯-卡明斯模型和布洛赫矢量形式。

例如，对于频率受外部电磁场调制到激发态的二能级原子（该原子的电子可以处于激发态或者基态），利用布洛赫方程可以得到，原子处于激发态的机率为 $|c_{b}(t)|^{2}=\cos(\omega t)^{2}\,$ $|c_{b}(t)|^{2}=\cos(\omega t)^{2}\,$ ，其中 $\omega \,$ $\omega \,$ 为拉比频率（英语：Rabi frequency）。

更一般地，可以考虑一个没有本征态的二能级体系，如果这个体系初态位于其中一个能级，时间演化将导致每个能级的态密度按照某个特征频率振荡，其角频率也称为拉比频率（英语：Rabi frequency）。

拉比效应的数学细节请参见拉比问题（英语：Rabi_problem）。例如，若将电磁场频率调至激发能，并于电磁场当中置入一个双态原子（该原子之电子可以处于激发态或基态），那么处于激发态原子之概率可以从Bloch方程得出：

$|c_{b}(t)|^{2}\propto \sin ^{2}(\omega t/2)$ $|c_{b}(t)|^{2}\propto \sin ^{2}(\omega t/2)$

$\omega$ $\omega$ 是拉比频率。

更一般而言，我们可以考虑一种，两个能级都不是能量本征态的系统。因此，如果在其中一个能级对系统初始化，则时间演化将使每个能级的总粒子数以某个特征频率振荡，其角频率也称为拉比频率。该双态量子系统的状态可以表示为二维复希尔伯特空间矢量，这意味着每个状态矢量 $\vert \psi \rangle$ $\vert \psi \rangle$ 是以标准的复数坐标表示。

$|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}};$ $|\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}};$ $c_{1}$ $c_1$ 和 $c_{2}$ $c_{2}$ 是坐标。

如果矢量归一化， $c_{1}$ $c_1$ 和 $c_{2}$ $c_{2}$ 的关联为 ${|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1$ ${|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1$ 。基矢量表示为 $|0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ $|0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ 和 $|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ $|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

所有与该系统相关的可观测物理量均为2 $\times$ $\times$ 2埃尔米特矩阵，这表示系统的哈密顿量也是相似矩阵。

可以通过以下步骤构建振荡实验：

另一方面，若H无简并本征态，且初态不是本征态，则振荡将会产生。双态系统哈密顿量的最一般形式给定如下

$\mathbf {H} ={\begin{pmatrix}a_{0}+a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&a_{0}-a_{3}\end{pmatrix}}$ $\mathbf {H} ={\begin{pmatrix}a_{0}+a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&a_{0}-a_{3}\end{pmatrix}}$

$a_{0},a_{1},a_{2}$ $a_{0},a_{1},a_{2}$ 和 $a_{3}$ $a_{3}$ 是实数。这个矩阵可以分解为

$\mathbf {H} =a_{0}\cdot \sigma _{0}+a_{1}\cdot \sigma _{1}+a_{2}\cdot \sigma _{2}+a_{3}\cdot \sigma _{3};$ $\mathbf {H} =a_{0}\cdot \sigma _{0}+a_{1}\cdot \sigma _{1}+a_{2}\cdot \sigma _{2}+a_{3}\cdot \sigma _{3};$

$\sigma _{0}$ $\sigma_0$ 是2 $\times$ $\times$ 2单位矩阵， $\sigma _{k}\;(k=1,2,3)$ $\sigma _{k}\;(k=1,2,3)$ 是泡利矩阵。尤其是在与时间无关的情况下，这种分解能够简化系统分析，其中 $a_{0},a_{1},a_{2}$ $a_{0},a_{1},a_{2}$ 和 $a_{3}$ $a_{3}$ 是常数。考虑置于磁场 $\mathbf {B} =B\mathbf {\hat {z}}$ $\mathbf {B} =B\mathbf {\hat {z}}$ 之中的自旋1/2粒子。该系统的相互作用能量算符为

$\mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\gamma \mathbf {S} \cdot \mathbf {B} =-\gamma \ B\ S_{z}$ $\mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\gamma \mathbf {S} \cdot \mathbf {B} =-\gamma \ B\ S_{z}$ ， $S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\,\sigma _{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ $S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\,\sigma _{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

$\mu$ $\mu$ 是粒子磁矩的大小， $\gamma$ $\gamma$ 是旋磁比， ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\boldsymbol {\sigma }}$ 是泡利矩阵之矢量。此处哈密顿量之本征态是 $\sigma _{3}$ $\sigma _{3}$ ，而 $|1\rangle$ $|1\rangle$ 和 $|2\rangle$ $|2\rangle$ 具有对应的本征值 $E_{+}={\frac {\hbar }{2}}\gamma B\,\ E_{-}=-{\frac {\hbar }{2}}\gamma B$ $E_{+}={\frac {\hbar }{2}}\gamma B\,\ E_{-}=-{\frac {\hbar }{2}}\gamma B$ 。在任意状态 $|\phi \rangle$ $|\phi \rangle$ 下，我们可以给出系统处于状态 $|\psi \rangle$ $|\psi \rangle$ 之概率 ${|\langle \phi |\psi \rangle |}^{2}$ ${|\langle \phi |\psi \rangle |}^{2}$ 。在 $t=0$ $t=0$ 的时刻，让系统处于准备状态 $\left|+X\right\rangle$ $\left|+X\right\rangle$ 。注意到 $\left|+X\right\rangle$ $\left|+X\right\rangle$ 是 $\sigma _{1}$ $\sigma _{1}$ 的本征态：

$|\psi (0)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ $|\psi (0)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

此处的哈密顿量与时间无关。因此，通过求解平稳的薛定谔方程，在经过时间t之后，状态演变为 $\left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left\left|\psi (0)\right\rangle ={\begin{pmatrix}\exp \left&0\\0&\exp \left\end{pmatrix}}|\psi (0)\rangle$ $\left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left\left|\psi (0)\right\rangle ={\begin{pmatrix}\exp \left&0\\0&\exp \left\end{pmatrix}}|\psi (0)\rangle$ ，带有系统总能量 $E {\displaystyle E}$ $E$ 。因此经过时间t之后，状态成为：

$|\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle$ $|\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle$

现在假设在t时刻，对x方向上的自旋进行测量。下式给出测量到自旋向上的概率：

${\left|\langle +X|\psi (t)\rangle \right|}^{2}={\left|{\frac {\left\langle 0\right|+\left\langle 1\right|}{\sqrt {2}}}\left({{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left\left|0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left\left|1\right\rangle }\right)\right|}^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\omega t}{2}}\right),$ ${\left|\langle +X|\psi (t)\rangle \right|}^{2}={\left|{\frac {\left\langle 0\right|+\left\langle 1\right|}{\sqrt {2}}}\left({{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left\left|0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left\left|1\right\rangle }\right)\right|}^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\omega t}{2}}\right),$

$\omega$ $\omega$ 是特征角频率，假设 $E_{-}\geq E_{+}$

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