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欧拉乘积

✍ dations ◷ 2025-09-19 10:47:41 #数论,Ζ函数与L函数

数论中，欧拉乘积（英语：Euler product）是指狄利克雷级数可表示为一指标为素数的无穷乘积。这一乘积以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的名字命名，他证明了黎曼ζ函数可表示为此无穷乘积的形式。

假设 $a {\displaystyle a}$ $a$ 为一积性函数，则狄利克雷级数

等于欧拉乘积

其中，乘积对所有素数 $p {\displaystyle p}$ $p$ 进行， $P(p,s)$ $P(p,s)$ 则可表示为

这可以看作形式母函数，形式欧拉乘积展开的存在性与 $a(n)$ $a(n)$ 为积性函数两者互为充要条件。

$a(n)$ $a(n)$ 为完全积性函数时可得到一重要的特例。此时 $P(p,s)$ $P(p,s)$ 为等比级数，有

当 $a(n)=1$ $a(n)=1$ 时即为黎曼ζ函数，更一般的情形则是狄利克雷特征。

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