欧拉乘积

✍ dations ◷ 2025-07-08 16:04:50 #数论,Ζ函数与L函数

数论中,欧拉乘积(英语:Euler product)是指狄利克雷级数可表示为一指标为素数的无穷乘积。这一乘积以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的名字命名,他证明了黎曼ζ函数可表示为此无穷乘积的形式。

假设 a {\displaystyle a} 为一积性函数,则狄利克雷级数

等于欧拉乘积

其中,乘积对所有素数 p {\displaystyle p} 进行, P ( p , s ) {\displaystyle P(p,s)} 则可表示为

这可以看作形式母函数,形式欧拉乘积展开的存在性与 a ( n ) {\displaystyle a(n)} 为积性函数两者互为充要条件。

a ( n ) {\displaystyle a(n)} 为完全积性函数时可得到一重要的特例。此时 P ( p , s ) {\displaystyle P(p,s)} 为等比级数,有

a ( n ) = 1 {\displaystyle a(n)=1} 时即为黎曼ζ函数,更一般的情形则是狄利克雷特征。

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