《算术研究》()是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于1798年写成的一本数论教材,在1801年他24岁时首次出版。全书用拉丁文写成。在这本书中高斯整理汇集了费马、欧拉、拉格朗日和勒让德等数学家在数论方面的研究结果,并加入了许多他自己的重要成果。
高斯在1796年就准备写一本数论的著作。一年后,他完成了初稿。1797年11月,高斯开始对初稿进行重写和修订,使之成为可以打印出来的成熟版本。打印工作于1798年4月开始,但由于机器的原因,速度缓慢。然而这也使得高斯有时间补充一些新的内容,特别是第五章的二次互反律的部分:1801年夏季最终出版时的长度已经是初稿时的两倍。
《算术研究》包括了初等数论和现在称为代数数论领域的一部分。然而,高斯在书中并未认识到抽象代数的核心:群的概念,因此没有加以应用。高斯将这本书的主题定位为他所称的“高等算术”。在这本书的序言一开头,高斯明确地说到:
全书有655页,分为七个部分共335篇文章,由浅入深,从同余理论起步,探讨了同余齐次式、同余方程和二次剩余理论。在二次剩余理论中,高斯在前人的基础上首次给出了二次互反律的证明。其后高斯又得出了双二次互反律和三次互反律,并对所谓的高斯整数进行了研究,得到了代数数论的一些基本成果。
前三部分的内容大都是其他数学家的成果,但高斯是首个将这些成果系统地汇集在一本书里的人。他也是首个意识到唯一分解定理之重要性的人。
进入第四部分后,大部分内容便是高斯的原创了。
高斯曾经写过《算术研究》的第八部分,探讨更高次的同余方程,但并没能完成。草稿在他逝世后分批出版。
在《算术研究》发表以前,数论研究只是一些孤立定理与猜想。高斯首次将这些零星的结果加以系统的处理,修补和改进了以往的证明,并在此之上发展出了自己的一系列理论与成果。《算术研究》是现代数论研究的开端。
《算术研究》一书的逻辑结构——声明定理、给出证明,然后给出系理或推论——为以后的教科书编写提供了一个榜样,成了后世教材的标准结构。为了使读者能够理解证明的逻辑思路,高斯在证明后会给出相应的例子,这一点也为后来的教材所采用。
《算术研究》亦是十九世纪欧洲数学家如库默尔、狄利克雷和戴德金等人著书的出发点。他们继承了高斯的研究。许多《算术研究》中的评注和没有证明的命题成为了新的研究热点。即使到了二十世纪,《算术研究》仍在产生影响。比如第五部分中高斯简要地叙述了他关于虚二次域类数的计算,并猜想他已经找到了所有类数为1、2和3的虚二次域。这个后来称为类数问题的猜想直到1986年才获得了肯定的答案。同样在第五部分,高斯证明了可以被解释为黎曼猜想的第一类非平凡情况:哈斯-韦伊定理。
《算术研究》虽然是一部十分重要的数论著作,但由于全书以拉丁文写就,内容深奥难懂,因此将其翻译成各国语言和进行注释阐述的工作一直不断。1807年,《算术研究》的法文译本出版。1863年,狄利克雷写了《数论讲义》(Vorlesungen über Zahlentheorie)一书,对《算术研究》作了明晰的阐释。1889年德文译本出版。1959年出版了俄文译本;1965年出版了英文版。
《算术研究》常常被引用,出现在各种数学论文、著作和教材的注释中。引用时一般简写为“DA”。