中垂线

垂直平分线，或称中垂线，指一垂直于某个线段且经过该线段中点之直线。两个成轴对称的点连成的线段被其对称轴垂直平分。中垂线亦可成为平角的角平分线。分别以该线段两端点为圆心，大于线段一半之等长长度为半径画弧，两弧相交之两点连接成的直线即为该线段的垂直平分线。垂直平分线上任一点到线段两端点等距。 若直线L为 A B ¯ {displaystyle {overline {AB}}} 之垂直平分线，则直线L上任意一点P可以使线段 P A ¯ = P B ¯ {displaystyle {overline {PA}}={overline {PB}}}垂直平分线上任一点与线段两端点相连构成的角被垂直平分线所平分。 直线L平分 ∠ A P B {displaystyle angle APB} 。在 △ X A M {displaystyle triangle XAM} 和 △ X B M {displaystyle triangle XBM} 中：∵ A M ¯ = B M ¯ {displaystyle because {overline {AM}}={overline {BM}}} (定义),∠ A M X = ∠ B M X = 90 ∘ {displaystyle angle AMX=angle BMX=90^{circ }} (定义),X M ¯ = X M ¯ {displaystyle {overline {XM}}={overline {XM}}} (公共边)∴ △ X A M ≅ △ X B M ( S A S ) {displaystyle therefore triangle XAMcong triangle XBM(SAS)}⇒ A X ¯ = B X ¯ {displaystyle Rightarrow {overline {AX}}={overline {BX}}} , 且 ∠ A X M = ∠ B X M {displaystyle angle AXM=angle BXM}(Q.E.D.)任意三角形ABC中，AB、AC、BC中垂线交于一点O，则我们称此点O为三角形ABC的外心。钝角三角形的外心恒在图形外部，直角三角形的外心恒在斜边中点，锐角三角形的外心恒在图形内部。