幂数

✍ dations ◷ 2025-12-08 23:52:52 #数论,整数数列

幂数（英语：powerful number）也称为幂次数，是指一正整数 $n {\displaystyle n}$ 为正整数（包括1在内）， $a^{2}b^{3}$ ()来表示当1≤≤时，幂数的个数，则满足以下的不等式

。

佩尔方程2-82=1有无限多个正整数解，因此存在无限多组连续的幂数（若、为正整数解，则2及82即为二个连续的幂数），其中最小的是8和9。而8和9恰好也是唯一一组连续的次方数（卡塔兰猜想，后来已被数学家普雷达·米哈伊列斯库证明）。

每一个奇数都可以表示为二个连续数字的平方的差：( + 1)2 = 2 + 2k +12，因此 ( + 1)2 - 2 = 2 + 1。而每一个4的倍数都可以表示为二个彼此差2的正整数，其平方的差：( + 2)2 - 2 = 4 + 4。以上数字均可表示为二平方数的差，因此可就是二个幂数的差。

但无法被4整除的偶数（即奇偶数（英语：Singly even number））无法表示为二个平方数的差，但不确定是否可表示为二个幂数的差，然而Golomb发现以下的等式

以上的等式未包括6，Golomb猜想有无穷多个奇偶数无法表示为二个幂数的差，不过后来Narkiewicz发现6也可以表示为二个幂数的差：

而且可以找到无限多组的幂数，二个幂数之间的差为6。而McDaniel证明每个整数都有无限多组表示为二个幂数的差的方法。

保罗·埃尔德什猜想每一个足够大的整数均可表示为最多三个幂数的和，后来由Roger Heath-Brown证实了保罗·埃尔德什的猜想。

幂数的素因数分解中，所有的指数均不小于2。以此概念再延伸，若一整数的素因数分解中，所有的指数均不小于，可称为-幂数。

是由k-幂数所组成的等差数列，若₁, ₂, ..., 是由-幂数所形成的等差数列，公差为d，则

则是由+1个项-幂数所组成的等差数列。

以下是一个有关-幂数的恒等式：

因此可以找到无穷多组的-幂数，其个数为+1个，而这些-幂数的和也是-幂数。Nitaj证明了存在无穷多组互素的3-幂数、、，满足+=的形式。Cohn找到一个可产生无穷多组互素，且非立方数的3-幂数、、，可满足+=的方法：以下的数组

是方程323 + 493 = 813的解（因此323、493及813即为上述的3-幂数数组）。令′=(493 + 813), ′ = −(323 + 813), ′ = (323 − 493)，再除以其最大公约数即为一组新的解。

相关

世界大百科事典《世界大百科事典》，中文惯称《世界大百科全书》。可以指：
捕鱼儿海之战明太祖第六次北伐又称捕鱼儿海之战，洪武二十年（1387年）九月三十日，朱元璋诏命永昌侯蓝玉为征虏大将军，延安侯唐胜宗、武定侯郭英为左右副将军，都督佥事耿忠、孙恪为左右参将，率军15
自给农业自给农业的是以提供足够粮食给农民自身家庭为目标的农业，农民根据家庭的需要而非市场价格决定种植的农作物种类。这种农业方式最早在新石器革命出现，当时人们开始在尼罗河、幼
鞭鞭为一种由金属制的棒型打击武器，有像刀剑一样的握柄，打击部有节状且最前端有尖。在中国被归类为十八般兵器中的一种冷兵器。中国的“鞭”分为两种，其一为策，用以驱马，驾车，其二为
2000年美国电影学会奖2000年美国电影学会奖（英语：American Film Institute Awards 2000）为表彰2000年年度最佳前10大电影与电视剧。
贝特希·阿德斯马谋杀案贝特希·阿德斯马（1947年7月11日－1969年11月28日）是美国宾夕法尼亚州立大学的学生，她于1969年11月28日在大学图书馆“派蒂图书馆”（Pattee Library）遇害。至今，此案仍未能侦破。死
成乐成乐，号龙山，湖广石首县人，明朝政治人物。弘治年间，乡试中举；正德九年（1514年）登甲戌科进士，官至兵部侍郎，征讨白莲教有功，谥端肃。
毓科毓科（满语：ᡳᡠᡳᠺ᠊ᠣ，穆麟德：；1814年－1865年），他他拉氏，字又坪，号条卿，满洲正蓝旗人，清朝政治人物。道光壬辰科举人，癸巳科进士，直隶宣化府知府。父秀堃，嘉庆辛酉科进士，兄毓检，道光丙申恩
苏布图苏布图（？－1648年），满洲爱新觉罗氏。清太祖努尔哈赤第七子饶余敏郡王阿巴泰之孙，贤悫贝子尚建长子。苏布图最初被封为辅国公。顺治二年（1645年），跟从勒克德浑驻守江宁，其后移师征讨湖广
黄斐瑜黄斐瑜（1974年8月29日－），台湾新闻主播，现任TVBS新闻台主播。