幂数

✍ dations ◷ 2025-06-09 12:48:06 #数论,整数数列

幂数（英语：powerful number）也称为幂次数，是指一正整数 $n {\displaystyle n}$ 为正整数（包括1在内）， $a^{2}b^{3}$ ()来表示当1≤≤时，幂数的个数，则满足以下的不等式

。

佩尔方程2-82=1有无限多个正整数解，因此存在无限多组连续的幂数（若、为正整数解，则2及82即为二个连续的幂数），其中最小的是8和9。而8和9恰好也是唯一一组连续的次方数（卡塔兰猜想，后来已被数学家普雷达·米哈伊列斯库证明）。

每一个奇数都可以表示为二个连续数字的平方的差：( + 1)2 = 2 + 2k +12，因此 ( + 1)2 - 2 = 2 + 1。而每一个4的倍数都可以表示为二个彼此差2的正整数，其平方的差：( + 2)2 - 2 = 4 + 4。以上数字均可表示为二平方数的差，因此可就是二个幂数的差。

但无法被4整除的偶数（即奇偶数（英语：Singly even number））无法表示为二个平方数的差，但不确定是否可表示为二个幂数的差，然而Golomb发现以下的等式

以上的等式未包括6，Golomb猜想有无穷多个奇偶数无法表示为二个幂数的差，不过后来Narkiewicz发现6也可以表示为二个幂数的差：

而且可以找到无限多组的幂数，二个幂数之间的差为6。而McDaniel证明每个整数都有无限多组表示为二个幂数的差的方法。

保罗·埃尔德什猜想每一个足够大的整数均可表示为最多三个幂数的和，后来由Roger Heath-Brown证实了保罗·埃尔德什的猜想。

幂数的素因数分解中，所有的指数均不小于2。以此概念再延伸，若一整数的素因数分解中，所有的指数均不小于，可称为-幂数。

是由k-幂数所组成的等差数列，若₁, ₂, ..., 是由-幂数所形成的等差数列，公差为d，则

则是由+1个项-幂数所组成的等差数列。

以下是一个有关-幂数的恒等式：

因此可以找到无穷多组的-幂数，其个数为+1个，而这些-幂数的和也是-幂数。Nitaj证明了存在无穷多组互素的3-幂数、、，满足+=的形式。Cohn找到一个可产生无穷多组互素，且非立方数的3-幂数、、，可满足+=的方法：以下的数组

是方程323 + 493 = 813的解（因此323、493及813即为上述的3-幂数数组）。令′=(493 + 813), ′ = −(323 + 813), ′ = (323 − 493)，再除以其最大公约数即为一组新的解。

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