约数

因数是一个常见的数学名词，用于描述非零整数 ${\displaystyle a}$ 和整数 ${\displaystyle b}$ 之间存在的整除关系，即 ${\displaystyle b}$ 可以被 ${\displaystyle a}$ 整除。这里我们称 ${\displaystyle b}$ 是 ${\displaystyle a}$ 的倍数，${\displaystyle a}$ 是 ${\displaystyle b}$ 的因数、约数或因子.

设 ${\displaystyle a,b}$ 满足 ${\displaystyle a\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{N}}^{\ast <!--\; \ast \; -->},b\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}$. 若存在 ${\displaystyle q\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}$ 使得 ${\displaystyle b=aq}$, 那么就说 ${\displaystyle b}$ 是 ${\displaystyle a}$ 的倍数， ${\displaystyle a}$ 是 ${\displaystyle b}$ 的约数。这种关系记作 ${\displaystyle a|b}$,读作“${\displaystyle a}$ 整除 ${\displaystyle b}$”.

例如 ${\displaystyle 24=3\times <!--\; \times \; -->8,1150=25\times <!--\; \times \; -->46}$. 所以 ${\displaystyle 3|24,25|1150}$，同时 ${\displaystyle 3}$ 是 ${\displaystyle 24}$ 的因数；${\displaystyle 25}$ 是 ${\displaystyle 1150}$ 的因数。

这里对最后一条性质进行证明:

${\displaystyle \because <!--\; \because \; -->a|n,b|n\therefore <!--\; \therefore \; -->ab|bn,ab|an\therefore <!--\; \therefore \; -->ab|(anx+bny)}$

${\displaystyle \because <!--\; \because \; -->ax+by=1\therefore <!--\; \therefore \; -->ab|n}$

证毕。

任何一个正整数都有且仅有一种方式写出它所有素数因子的乘积表达式。这个过程称为素因数分解

如果 ${\displaystyle A\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{N}}^{+}}$, 那么

${\displaystyle A=\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{p}_i^{a_i}}$, 其中 ${\displaystyle p_i}$ 是一个素数.

这种表示方法是唯一的。

自然数 ${\displaystyle N}$ 的因数个数以 ${\displaystyle d(n)}$ 表示。

若 ${\displaystyle N}$ 唯一分解为 ${\displaystyle N=p_1^{a_1}\times <!--\; \times \; -->p_2^{a_2}\times <!--\; \times \; -->p_3^{a_3}\times <!--\; \times \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\times <!--\; \times \; -->p_n^{a_n}=\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{p}_i^{k_i}}$, 则 ${\displaystyle d(N)=(a_1+1)\times <!--\; \times \; -->(a_2+1)\times <!--\; \times \; -->(a_3+1)\times <!--\; \times \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\times <!--\; \times \; -->(a_n+1)=\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\left(a_i+1\right)}$.

例如 ${\displaystyle 2646=2\times <!--\; \times \; -->3^3\times <!--\; \times \; -->7^2}$，则其正因数个数 ${\displaystyle d(2646)=(1+1)\times <!--\; \times \; -->(3+1)\times <!--\; \times \; -->(2+1)=24}$。

自然数N的正因数和，以因数函数 ${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(N)}$ 表示。由素因数分解而得。

若 ${\displaystyle N}$ 唯一分解为 ${\displaystyle N=p_1^{a_1}\times <!--\; \times \; -->p_2^{a_2}\times <!--\; \times \; -->p_3^{a_3}\times <!--\; \times \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\times <!--\; \times \; -->p_n^{a_n}=\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{p}_i^{k_i}}$, 则 ${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(N)=\underset{i=1}{\overset{n}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\left(\underset{j=0}{\overset{a_i}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{p}_i^j\right)}$.

再由等比级数求和公式可知，上式亦可写成：

例如${\displaystyle 2646=2\times <!--\; \times \; -->3^3\times <!--\; \times \; -->7^2}$，则其正因数之和

。

由上式同样可证明，一个整数及其相反数必然为自身的约数，叫做明显约数。