希尔伯特第二十一问题

希尔伯特第二十一问题是希尔伯特的23个问题之一：给定${\displaystyle P_1,\dots <!--\; \dots \; -->,P_n\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{P}}^1(\mathbb{C}),\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}:=\mathbb{C}-<!--\; -\; -->\{P_1,\dots <!--\; \dots \; -->,P_n\}}$及一个线性表示${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}:{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->},x_0)\to <!--\; \to \; -->GL(m,\mathbb{C})}$(给定${\displaystyle x_0\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$），是否存在一组${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$上的Fuchs方程，使得其单值群由${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$给出？

此问题的答案决定于其表述：如果我们容许明显的奇异点（即：其单值群是平凡的），并在复流形上的向量丛及其联络的意义下理解Fuchs方程，则答案是肯定的；否则存在反例。这是L. Plemelj、G. Birkhoff、I. Lappo-Danilevskij、P. Deligne与A. Bolibrukh等数学家的工作。

此问题有时亦称为黎曼-希尔伯特问题。数学家柏原正树与Zoghman Mebkhout已借助D-模的抽象语言将此结果推广到高维情形，称作黎曼-希尔伯特对应。