康托尔分布

✍ dations ◷ 2025-12-10 21:58:08 #康托尔分布

康托尔分布是一种累积分布函数是康托尔函数的概率分布。

该分布即没有概率密度函数，也没有概率质量函数，因为虽然其累积分布函数是一个连续函数，但其分布在勒贝格测度意义下既不是绝对连续的，也没有任何点质量。因此它既不离散的概率分布，也不是一个绝对连续的概率分布，同时不是这两个混合的概率分布。相反，它是一个奇异分布的例子。

其累积分布函数是处处连续的，但也几乎处处水平，所以有时被称为魔鬼的楼梯，虽然这个用语有更广泛的意义。

康托尔分布的基础是康托集，本身是多个可数无限集的交:

康托尔分布对任何 ( ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }) 中 2 个包含康托尔分布随机变量的特定区间，都有独特的概率 2-.

通过对称性很容易看出，具有这样分布的一个随机变量 X，其期望值 E() = 1/2，且所有 X 的奇数阶中心矩都是 0。

方差 var() 可由总方差定律求得。具体操作如下：对上述集合 ₁，如果 ∈ 则令 Y = 0，如果 ∈ ，令 Y = 1。然后有

从而我们得到：

任意偶数阶中心矩的封闭表达式可由：先获得偶数项累积量

其中 ₂ 是第2个伯努利数，然后用该累积量的方程作为矩的表达。

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