凸包

在一个实数向量空间 V {displaystyle V} 中，对于给定集合 X {displaystyle X} ，所有包含X的凸集的交集 S {displaystyle S} 被称为 X {displaystyle X} 的凸包。X {displaystyle X} 的凸包可以用 X {displaystyle X} 内所有点 ( x 1 , … , x n ) {displaystyle (x_{1},ldots ,x_{n})} 的线性组合来构造。在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包着所有点的橡皮圈。逐次将点加入，然后检查之前的点是否在新的凸包上。由于每次都要检查所有之前的点，时间复杂度为 O ( n 2 ) {displaystyle O(n^{2})} 。首先由一点必定在凸包的点开始，例如最左的一点 A 1 {displaystyle A_{1}} 。然后选择 A 2 {displaystyle A_{2}} 点使得所有点都在 A 1 A 2 {displaystyle A_{1}A_{2}} 的右方，这步骤的时间复杂度是 O ( n ) {displaystyle O(n)} ，要比较所有点以 A 1 {displaystyle A_{1}} 为原点的极坐标角度。以 A 2 {displaystyle A_{2}} 为原点，重复这个步骤，依次找到 A 3 , A 4 , . . . , A k , A 1 {displaystyle A_{3},A_{4},...,A_{k},A_{1}} 。这总共有 k {displaystyle k} 步。因此，时间复杂度为 O ( k n ) {displaystyle O(kn)} 。由最底的一点 A 1 {displaystyle A_{1}} 开始（如果有多个这样的点，那么选择最左边的），计算它跟其他各点的连线和x轴正向的角度，按小至大将这些点排序，称它们的对应点为 A 2 , A 3 , . . . , A n {displaystyle A_{2},A_{3},...,A_{n}} 。这里的时间复杂度可达 O ( n log ⁡ n ) {displaystyle O(nlog {n})} 。考虑最小的角度对应的点 A 3 {displaystyle A_{3}} 。若由 A 2 {displaystyle A_{2}} 到 A 3 {displaystyle A_{3}} 的路径相对 A 1 {displaystyle A_{1}} 到 A 2 {displaystyle A_{2}} 的路径是向右转的（可以想象一个人沿 A 1 {displaystyle A_{1}} 走到 A 2 {displaystyle A_{2}} ，他站在 A 2 {displaystyle A_{2}} 时，是向哪边改变方向），表示 A 3 {displaystyle A_{3}} 不可能是凸包上的一点，考虑下一点由 A 2 {displaystyle A_{2}} 到 A 4 {displaystyle A_{4}} 的路径；否则就考虑 A 3 {displaystyle A_{3}} 到 A 4 {displaystyle A_{4}} 的路径是否向右转……直到回到 A 1 {displaystyle A_{1}} 。这个算法的整体时间复杂度是 O ( n log ⁡ n ) {displaystyle O(nlog {n})} ，注意每点只会被考虑一次，而不像Jarvis步进法中会考虑多次。这个算法由葛立恒在1972年发明。它的缺点是不能推广到二维以上的情况。将点按x坐标的值排列，再按y坐标的值排列。选择x坐标为最小值的点，在这些点中找出y坐标的值最大和y坐标的值最小的点。对于x坐标为最大值也是这样处理。将两组点中y坐标值较小的点连起。在这条线段下的点，找出它们之中y坐标值最大的点，又在它们之间找x坐标值再最小和最大的点……如此类推。时间复杂度是 O ( n log ⁡ n ) {displaystyle O(nlog {n})} 。将点集X分成两个不相交子集。求得两者的凸包后，计算这两个凸包的凸包，该凸包就是X的凸包。时间复杂度是 O ( n log ⁡ n ) {displaystyle O(nlog {n})} 。选择最左、最右、最上、最下的点，它们必组成一个凸四边形（或三角形）。这个四边形内的点必定不在凸包上。然后将其余的点按最接近的边分成四部分，再进行快包法（QuickHull）。