A无穷代数

A无穷代数（A-infinity algebra，或 ${\displaystyle A_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$-algebra）是吉姆·斯塔谢夫（Jim Stasheff）在1960年代研究 H-空间的乘法的结合性时发现的一种代数结构，又称为强同伦结合代数（strongly homotopy associative algebra）。1970年代陈国才（K.-T. Chen）和T.V. Kadeishvili在一个流形的同调群上用不同的方法各自发现了一种A无穷代数结构。1990年代深谷贤治在研究辛流形的拉格朗日Floer同调（Lagrangian Floer Homology）时推广了斯塔谢夫的概念，称为A无穷范畴（A-infinity category，${\displaystyle A_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$-category）。一般数学家把深谷的发现称为深谷范畴（Fukaya category）。

设${\displaystyle V}$是数域${\displaystyle k}$上的一个分次线性空间。${\displaystyle V}$上的一个A无穷代数结构是一组映射

满足以下4组关系：

从上面的定义可以看出，对于一个A无穷代数，它的同调实际上形成一个结合代数。这也就是一个A无穷代数称为强同伦结合代数的原因。

如果读者熟悉余代数的概念，那么考虑${\displaystyle V}$的元素度数降低1然后生成的张量代数，记为${\displaystyle TV}$。${\displaystyle TV}$上有一个自然的余积，为

从而使${\displaystyle TV}$成为一个上代数。${\displaystyle V}$上的一个A无穷代数结构就是${\displaystyle TV}$上的一个余导子（coderivation）${\displaystyle \mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$并且满足${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^2=0}$。关于这两个定义的等价性证明可以参考下面 Markl-Shnider-Stasheff 的书。

Stasheff是怎样得到A无穷代数的结构的呢？我们下面以一个具体的例子，同时也是Stasheff所考虑的原型来说明。设${\displaystyle M}$是一个拓扑空间，${\displaystyle x}$为其上一点。记

称为${\displaystyle M}$的环路空间（based loop space）。在${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}M}$上我们可以定义一种乘法，如下：任给${\displaystyle {\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_1,{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_2\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}M}$，

回忆学习基本群的时候，我们都验证过这样的乘法并不是结合的，但在同伦意义下是结合的：不难构造这样的同伦，记为${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{m}}_3}$，

使得${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{m}}_3(0,\cdot <!--\; \cdot \; -->)=({\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_1\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_2)\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_3(\cdot <!--\; \cdot \; -->),{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{m}}_3(1,\cdot <!--\; \cdot \; -->)={\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_1\circ <!--\; \circ \; -->({\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_2\circ <!--\; \circ \; -->{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_3)(\cdot <!--\; \cdot \; -->)}$。对于${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}M}$里面的4个元素，我们有下面五种乘法，他们是相互同伦的，如下图所示：

图中1表示恒同映射。这样我们就得到了一个以圆周${\displaystyle S^1}$为参数的一串从${\displaystyle }$到${\displaystyle M}$的映射。事实上因为这些映射的像都是重合的，因而我们实际上可以把这一串映射延拓到以${\displaystyle S^1}$为边的圆盘${\displaystyle D^2}$上，即为同伦之间的同伦，记为${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{m}}_4}$。如此一直进行下去，我们就得到${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{m}}_5,{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{m}}_6,\cdots <!--\; \cdots \; -->}$，等等。在链水平上，我们把${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{m}}_n}$对应的映射记为${\displaystyle m_n}$，则不难看出${\displaystyle m_n}$就是满足上面A无穷代数定义的那些算子。

Stasheff的A无穷代数的概念自然地出现在关于一般代数结构的分解（resolution）的理论中。给定一个代数结构，我们希望能够通过对它的分解看清其中的结构（对比于流形，这样分解就是波斯尼科夫塔）。这其中，所谓的科祖分解是一种非常有效的分解方式，而A无穷代数则非常自然地出现在结合代数的Koszul分解过程当中：对于一个结合代数，它的科祖分解有一个A无穷代数结构，而这个A无穷代数的科祖分解又是一个A无穷代数，如此不已。但是，原来的结合代数和两次科祖分解后得到的A无穷代数实际上是链等价的，第二个分解和第四个分解也是如此，如此循环。这就是所谓的科祖对偶（Koszul duality（英语：Koszul duality））的概念。

对于李代数和交换代数，我们同样可以进行科祖分解。一个李代数的科祖分解有一个C无穷代数（C是交换commutativity的英文缩写）结构，而一个交换代数的科祖分解有一个李无穷代数结构。所谓李无穷代数和C无穷代数，正如A无穷代数一样，他们的同调分别是李代数和交换代数。李代数和交换代数分别是一种特殊的李无穷代数和C无穷代数。由一个李代数经过科祖分解后到C无穷代数然后再经科祖分解到李无穷代数，所得的这两个李无穷代数实际上是同伦等价的，对于交换代数也是如此。因此我们可以说，李代数和交换代数是相互科祖对偶的。这个结论实际上是奎伦在有理同伦论中发现的，他还证明，在有理系数下，这两个代数组成的范畴都和拓扑中的有理同伦型（rational homotopy type）组成的范畴是等价的（有一些单连通性条件）。后来 Sullivan通过考察流形的微分形式，得到了类似的结果，但是更几何，更直观。

考虑一个范畴${\displaystyle \mathfrak{C}}$。对于其中的四个对象及其之间态射

我们有

这显示了这些态射之间有一种结合性。一个A无穷范畴就是打破这些结合性，使之成为在同伦意义下是结合的，同时有高阶同伦算子，成为同伦的同伦，同伦的同伦的同伦，等等。因此一个A无穷范畴并不是一个范畴，而是同伦意义下的范畴：它的“同调”形成一个范畴。

深谷在研究辛拓扑的时候发现了这个A无穷范畴的结构。给定一个辛流形，考虑其中的拉格朗日子流形（Lagrangian submanifold）。对其中任意两个拉格朗日子流形，考虑所谓的拉格朗日Floer链复形，形成所谓的态射。深谷发现这些态射之间可以定义乘法，但是这个乘法本身不结合但在同伦意义下结合，他并构造了高阶同伦算子，使之成为一个A无穷范畴，现在称为深谷范畴。

Stasheff关于A无穷代数的构造见：

陈国才的${\displaystyle A_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$-代数的构造，并不是在文章中明显给出的，但不难推导，见：

Kadeishvili的文章发表于1980年，作者后来重新整理，题为On the homology theory of fiber spaces。原文见：

关于Koszul对偶，最经典的文章见：

Quillen的有理同伦论，见：

Sullivan的有理同伦论，见：

关于Fukaya范畴，见他的主页 页面存档备份，存于互联网档案馆上的文章，以及