切比雪夫多项式

切比雪夫多项式是与棣莫弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号表示， 第二类切比雪夫多项式用表示。切比雪夫多项式 或 代表阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程

和

相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。 这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形。

第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定

也可以用母函数表示

第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出

此时母函数为

第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定

其中 = 0, 1, 2, 3, .... . ${\displaystyle \cos <!--\; \; -->n\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$次多项式，这个事实可以这么看： ${\displaystyle \cos <!--\; \; -->n\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$), cosh()以及他们的反函数，则有

类似，第二类切比雪夫多项式满足

切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程

在多项式环R 上的解(e.g., 见 Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:

两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:

证明的方式是在下列三角关系式中用${\displaystyle \cos <!--\; \; -->\mathrm{\vartheta <!--\; \vartheta \; -->}}$ 和 都是区间 上的正交多项式系.

第一类切比雪夫多项式带权

即:

可先令 cos(θ) 利用 (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.

类似地，第二类切比雪夫多项式带权

即:

其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布).

对每个非负整数${\displaystyle n}$ 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：

多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw递推公式计算。

两类的次切比雪夫多项式在区间上都有 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做 切比雪夫节点（英语：Chebyshev nodes） ，因为是多项式插值时的 . 从三角形式中可看出 的个根分别是：

类似地， 的个根分别是：