费雪方程式

费雪方程式（英语：Fisher equation）是数理经济学和金融数学的费沙效应理论，它概括了通货膨胀情况下，名义利率和真实利率的关系。

这条方程式以美国经济学家欧文·费雪命名，因为后者在其著作《利息理论》中说明了这条方程式及内里的函数彼此的关系。金融学上，费雪方程式主要使用在债券的孳息率曲线或者投资的内部报酬率的计算。经济学上，方程式的应用则是预测名义和实际利率。经济学家常用${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$表示通货膨胀率。

${\displaystyle r}$代表实际利率、${\displaystyle i}$代表名义利率、${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$表示通货膨胀率，因此费雪方程式即是：

${\displaystyle i\approx <!--\; \approx \; -->r+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$

方程式是线性近似关系，但一般都写作均等式：

${\displaystyle i=r+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$

费雪方程式可用作“事前”或者“事后”分析。如果进行“事后”分析，方程式可写为：

${\displaystyle r=i-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$

描述一笔贷款的实际购买力。

把费雪方程式重新排列为“附加预期的费雪方程式”，给予一个所需的实际回报率和一个一段时间内贷款的预期通货膨胀率，${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^e}$，以“事前”分析决定贷款应该收取的名义利率：

${\displaystyle i=r+{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^e}$

此方程其实在费雪之前已经存在，但费雪建议使用以下较佳的近似版本。近似式可从这条准确式推导而来：

${\displaystyle 1+i=(1+r)(1+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}).}$

即使代表时间的下标符号有时候被省略，费雪方程式要说明的便是名义利率和实质利率的关系，这是通过通货膨胀导致两个时间点之间的价格水平的百分比改变。

所以，假设某人在时期T购买$1债券，利率是${\displaystyle i_t}$。如果债券在时期t+1被赎回，那位债券持有人的回报便是${\displaystyle (1+i_t)}$元。但是，如果价格水平在t和t+1之间已经发生改变，从债券所得到的真实收益就会是

${\displaystyle (1+r_{t+1})=(1+i_t)/(1+{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{t+1})}$

下式则可求出名义利率：

${\displaystyle 1+i_t=(1+r_{t+1})(1+{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{t+1})}$ (1)

扩展此式， (1) 变成:

${\displaystyle 1+i_t=1+r_{t+1}+{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{t+1}+r_{t+1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{t+1}}$

${\displaystyle i_t=r_{t+1}+{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{t+1}+r_{t+1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{t+1}}$

假设真实利率和通胀率皆是相当小，（或许在百分之几，这要取决于实际情况）${\displaystyle r_{t+1}+{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{t+1}}$较大于${\displaystyle r_{t+1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{t+1}}$，因此 ${\displaystyle r_{t+1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{t+1}}$被放弃，给出最终近似值:

更正式地，这线性近似 可从两个一阶泰勒展式求出，即使:

合并这些孳息率的近似值:

因此${\displaystyle r\approx <!--\; \approx \; -->i-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}.}$

2050年3月8日到期，票面息率为4.25%的英国政府债券的市场回报率为每年3.81%。假设可知这张债券的实质利率为2%，通货膨胀率等于原有利率溢价1.775%（假设不需要风险溢价，因此这张政府债券属于“无风险”）:

1.02 × 1.01775 = (1 + 0.02) × (1 + 0.01775) = 1.0381

这里假设我们可以忽略扩展式(0.02 × 0.01775 = 0.00035 or 0.035%)最不重要的部分，从近似形式的费雪方程式计算，即是2%+1.775%=3.775%，这数字跟3.81%非常接近。

当每年名义回报率3.81%，每张面值为100英镑的债券价格为107.84英镑；如果回报率为每年3.775%，每张面值为100英镑的债券价格为108.50英镑，或者略多于66便士。

2005年最后一季真正的政府债券市场交易平均交易额是1000万英镑。所以，每100英镑的债券的价格计算假若存在66便士的差异，交易则会有66000英镑的价差。

费雪方程式对通胀挂钩债券的交易有着重要的影响，通货膨胀、实质利率、名义利率之间达到饱和点上的均衡会驱使票息的改变。