伽罗瓦群

✍ dations ◷ 2025-08-14 12:00:56 #域论,群论,伽罗瓦理论

伽罗瓦群(法语:Groupe de Galois)是抽象代数中域论的概念,表示与某个类型的域扩张相伴的群,是伽罗瓦理论的基础概念。域扩张源于多项式。通过伽罗瓦群研究域扩张以及多项式的理论,称为伽罗瓦理论,是十九世纪法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦为了解决“高次多项式方程是否有根式解”的问题而创造的。后世也以他的名字命名相关的概念。

用置换群更初等地讨论伽罗瓦群,参见伽罗瓦理论一文。

设有域扩张L/K。考虑所有L上的K-自同构集合。此处的K-自同构指的是L映射到L的环同构,且其限制在K上的部分是平凡的(即为恒等映射)。用数学语言描述,一个K-自同构是指满足以下条件的同态σ:15-16:125:

可以证明,对任意的域扩张L/K,所有L上的K-自同构关于映射的复合运算构成群,称为域扩张L/K的自同构群,记作Aut():16。

如果L/K是一个伽罗瓦扩张,则Aut()称为扩张L/K上的伽罗瓦群,通常记做 Gal()(有些文献中记作Gal( : )):16。

在某些介绍伽罗瓦理论的专著中,也会将任何域扩张上的自同构群都称为伽罗瓦群,并记作Gal()σ:125。

F是一个域, Q , R , C {\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} } ()表示在F中添加元素a生成的域扩张。


设有域扩张L/K,则其自同构群Aut()满足:

设域扩张L/K为伽罗瓦扩张。以下的性质均可以在没有伽罗瓦理论基本定理的情况下证明。

伽罗瓦扩张的重要性在于,有限的伽罗瓦扩张满足伽罗瓦理论基本定理:伽罗瓦群的子群与域扩张的中间域之间存在着反向包含的一一对应关系。

如果Gal()是伽罗瓦扩张,则伽罗瓦群Gal()上可以装备一个拓扑,称为克鲁尔拓扑(英语:Krull topology),使其成为一个投射有限群(英语:profinite group)。在此拓扑下,即便Gal()是无限扩张,其伽罗瓦群的闭子群与域扩张的中间域存在着反向包含的一一对应关系,有类似伽罗瓦理论基本定理的结论。

相关

  • 灭绝灭绝是指一个物种完全消失的自然过程。由于生存竞争的关系,灭绝消灭了一部分物种,但同时也为其他物种的发展和新物种的产生创造了条件。例如白垩纪末期的大灭绝事件,导致了恐龙
  • 罗马大学罗马大学(意大利语:Sapienza - Università di Roma),也译罗马智慧大学,亦称罗马第一大学或罗马一大,是意大利罗马市的一所著名大学。罗马大学为全欧洲学生注册人数最多的大学(若包
  • 年代记年代记(Chronicle)是一种用年代来排序的来记录历史事实和事件的文献记载方法。通常同时考虑历史上重要事件和本地事件的权重,此用来记录发生的和年代记编纂者的观点。对比故事
  • 威斯特彻斯特县西切斯特县(英语:Westchester County),是美国纽约州东南部的一个县,东邻康涅狄格州,南面纽约市,西有哈德逊河流过,是纽约上州最南端的一个县,但亦属于纽约都会区内。面积1,295平方公
  • 赣南赣州市,简称虔,古称虔州、南康,通称赣南,是中华人民共和国江西省下辖的地级市,位于江西省南部。市境北连吉安市、抚州市,东接福建省三明市、龙岩市,南临广东省梅州市、河源市,西南达
  • 格兰父子格兰父子(William Grant & Sons)为苏格兰酿酒集团,旗下包括单一麦芽威士忌蒸馏厂格兰菲迪(Glenfiddich)及百富(Balvenie),并拥有谷类威士忌蒸馏厂-格文(Girvan)及调和威士忌品牌
  • 喀提林喀提林(Lucius Sergius Catilina,约前108年-前62年)是罗马的政治家,罗马元老,曾密谋发动政变,推翻罗马元老院的统治,事败后出逃,后战死。他虽出生于贫穷之家,但其家族是罗马最古老的
  • 天主教图森教区天主教图森教区(拉丁语:Dioecesis Tucsonensis、英语:Roman Catholic Diocese of Tucson)是美国一个罗马天主教教区,属于圣菲总教区。范围包括亚利桑那州东南部九个县,但不包括希
  • 久沃勒什蒂乡坐标:43°47′47″N 24°41′21″E / 43.79639°N 24.68917°E / 43.79639; 24.68917久沃勒什蒂乡(罗马尼亚语:Giuvărăști, Olt),是罗马尼亚的乡份,位于该国南部,由奥尔特县负责
  • 思勉原创奖思勉原创奖是华东师范大学为纪念史学家吕思勉而创立的人文学术著作奖项,每两年颁发一次,表扬具有原创性的学术成果。提名奖:章培恒、骆玉明《中国文学史新著》提名奖:范伯群《中