莱兰数

✍ dations ◷ 2025-11-23 14:45:23 #整数数列

在数论中，莱兰数是可以表示成 $x^{y}+y^{x}$ $x^{y}+y^{x}$ 的整数，其中 $x {\displaystyle x}$ $x$ 和 $y {\displaystyle y}$ $y$ 是大于 $1 {\displaystyle 1}$ $1$ 的整数，以数学家保罗·莱兰（英语：Paul Leyland）为名。前几个莱兰数是：
8，17，32，54，57，100，145，177，320， 368，512，593，945，1124 （OEIS中的数列A076980）。

$x {\displaystyle x}$ $x$ 和 $y {\displaystyle y}$ $y$ 都大于 $1 {\displaystyle 1}$ $1$ 的要求很重要。如果没有这个要求，每个正整数都可写成 $1^{x}+x^{1}$ $1^{x}+x^{1}$ 而成为莱兰数。而由于加法的交换律，通常也会加上 $y\leq x$ $y\leq x$ 这个条件，以免重复列入同一数字。

莱兰质数是指同时是莱兰数也质数的整数。前几个这样的质数是：
17，593，32993，2097593，8589935681，59604644783353249，523347633027360537213687137，43143988327398957279342419750374600193，... （OEIS中的数列A094133）

第二类莱兰数是指可以写成 $x^{y}-y^{x}$ $x^{y}-y^{x}$ 的整数，其中其中 $x {\displaystyle x}$ $x$ 和 $y {\displaystyle y}$ $y$ 是大于 $1 {\displaystyle 1}$ $1$ 的整数。

第二种莱兰质数，是指同时是第二种莱兰数也是质数的整数。前几个这样的质数是：
7，17，79，431，58049，130783，162287，523927，2486784401，6102977801，8375575711，13055867207，83695120256591，375700268413577，2251799813682647，... （OEIS中的数列A123206）

其他可能的第二种莱兰质数，请见由Henri Lifchitz和Renaud Lifchitz建立的PRP Top Records中搜寻。

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