字度量

群论中，字度量是在群上的一种度量，就是一个方法去量度群中两个元素之间的距离。给出群${\displaystyle G}$的生成集${\displaystyle S}$，每个元素都可以用${\displaystyle S}$写成很多个不同的字。例如设${\displaystyle G}$是所有整数组成的群${\displaystyle (\mathbb{Z},+)}$，取${\displaystyle S=\{\pm <!--\; \pm \; -->1\}}$，3就可以写成1+1+1，或者-1+1+1-1+1+1+1等字。每个字用了多少个${\displaystyle S}$的元素，这就是字的长度，例如1+1+1的长度是3，-1+1+1-1+1+1+1的长度是7。可以用英文字来比喻：英文字的生成集是英文字母，字的长度就是字母的数目，如colour的长度是6，color的长度是5。

两个元素${\displaystyle g,h\in <!--\; \in \; -->G}$的字度量${\displaystyle d_S(g,h)}$定义为${\displaystyle g^{-<!--\; -\; -->1}h}$以${\displaystyle S}$表示成的最短的字的长度。

两个元素的字度量，等于凯莱图${\displaystyle \mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(G,S)}$中这两个元素的距离。

考虑整数群${\displaystyle (\mathbb{Z},+)}$。若取生成集合${\displaystyle S=\{\pm <!--\; \pm \; -->1\}}$，那么两个整数${\displaystyle m,n}$之间的字度量是${\displaystyle d_S(m,n)=\left|-<!--\; -\; -->m+n\right|}$。

若取另一个生成集合${\displaystyle S^{\prime }=\{\pm <!--\; \pm \; -->2,\pm <!--\; \pm \; -->3\}}$，则${\displaystyle m}$和${\displaystyle m+1}$之间的字度量${\displaystyle d_{S^{\prime }}(m,m+1)=2}$，因为${\displaystyle -<!--\; -\; -->m+(m+1)}$用${\displaystyle S^{\prime }}$所能表示成的最短的字（3-2或-2+3）的长度为2。

从字度量的定义可以看出，群于自身的左乘作用${\displaystyle k\cdot <!--\; \cdot \; -->g\mapsto <!--\; \mapsto \; -->kg}$下，字度量不变：

（因为${\displaystyle (kg{)}^{-<!--\; -\; -->1}(kh)=g^{-<!--\; -\; -->1}h}$。）

一个群${\displaystyle G}$给出不同的生成集合，对应的字度量可以不同。不过，如果${\displaystyle G}$是有限生成的，则两个有限的生成集合${\displaystyle S_1,S_2}$所给出的字度量是双利普希茨的，即存在常数${\displaystyle C>1}$使得对任何${\displaystyle g,h\in <!--\; \in \; -->G}$都有

证明如下：${\displaystyle S_1}$中的各元素用${\displaystyle S_2}$表示成的字，其中最长的长度设为${\displaystyle C_1}$。那么每个用${\displaystyle S_1}$表示成的字，都可用${\displaystyle S_2}$改写成不超过${\displaystyle C_1}$倍的长度的字。故此

同样地，有

取${\displaystyle C}$为${\displaystyle C_1}$和${\displaystyle C_2}$的较大者，得出不等式。