曲线的挠率

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:14:56 #微分几何,曲线,曲率

在初等三维曲线的微分几何中,一条曲线的挠率(torsion,或译挠率)度量了其扭曲的程度,即偏离平面曲线的程度。空间曲线的曲率和挠率在一起,与平面曲线的曲率类似。例如,他们都是弗勒内标架的微分方程组中的系数,由弗勒内-塞雷公式给出。

设 是一条用弧长参数 s {\displaystyle s} 的曲率 κ {\displaystyle \kappa } ) 是空间曲线的参数方程。假设参数是正则的且曲线的曲率处处非 0。精确地说就是,r()关于t三次可微,且矢量 r ( t ) , r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r'} (t),\mathbf {r''} (t)} 求导数,× 号为矢量的叉积。对 = (, , ),上述公式的分量形式为

例子:圆螺旋线 r ( t ) = ( a cos t , a sin t , b t )   ( a > 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=(a\cos {t},a\sin {t},bt)\ (a>0)} , Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag,2001 ISBN 1-85233-152-6

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