乘积法则

乘积法则，也称积定则、莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。

若已知两个可导函数${\displaystyle f,g}$()和()为的两个可导函数。那么，的微分是：

由于·可以忽略不计，因此有：

两边除以，便得：

或

假设

且和在点可导。那么：

现在，以下的差

是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。

这个区域可以分割为两个矩形，它们面积的和为：

因此，(1)的表达式等于：

如果(5)式中的四个极限都存在，则(4)的表达式等于：

现在：

因为当 → 时，()不变；

因为在点可导；

因为在点可导；以及

因为在点连续（可导的函数一定连续）。

现在可以得出结论，(5)的表达式等于：

设 = ，并假设和是正数。那么：

两边求导，得：

把等式的左边乘以，右边乘以，即得：

设 ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x),}$和在点可导。那么：

${\displaystyle h^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{h(x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x)-<!--\; -\; -->h(x)}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}=\underset{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x)g(x+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x)-<!--\; -\; -->f(x)g(x)}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}x}}$是一个正整数（该公式即使当不是正整数时也是成立的，但证明需要用到其它方法）。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果 = 1，${\displaystyle \frac{d}{dx}{x}^1=\underset{h\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{(x+h)-<!--\; -\; -->x}{h}=1=1x^{1-<!--\; -\; -->1}}$成立，那么对于 + 1，我们有：

因此公式对于 + 1也成立。