完全数(Perfect number),又称完美数或完备数,是一些特殊的自然数:它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和,恰好等于它本身,完全数不可能是楔形数、平方数、佩尔数或费波那契数。
例如:第一个完全数是6,它有约数1、2、3、6,除去它本身6外,其余3个数相加,
,恰好等于本身。第二个完全数是28,它有约数1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其余5个数相加, ,也恰好等于本身。后面的数是496、8128。十进制的5位数到7位数、9位数、11位数、13到18位数等位数都没有完全数,它们不是亏数就是盈数。
古希腊数学家欧几里得是通过
的表达式发现前四个完全数的。一个偶数是完美数,当且仅当它具有如下形式:
,其中 是素数,此事实的充分性由欧几里得证明,而必要性则由欧拉所证明。比如,上面的
和 对应着 和 的情况。我们只要找到了一个形如 的素数(即梅森素数),也就知道了一个偶完美数。尽管没有发现奇完全数,但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明,若有奇完全数,则其形式必然是
或 的形式,其中 是素数。首十个完全数是( A000396):
古代数学家根据当时已知的四个完全数做了很多假设,大部分都是错误的。其中的一个假设是:因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数,第 5 个完全数应该是第 5 个素数,即当
的时候,可是 并不是素数。因此 不是完全数。另外两个错误假设是:事实上,第五个完全数
是 位数。对于第二个假设,第五个完全数确实是以
结尾,但是第六个完全数 仍是以 结尾,应该说完全数只有以 和 结尾才对。对完全数的研究,至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。
每一个梅森素数给出一个偶完全数;反之,每个偶完全数给出一个梅森素数,这结果称为欧几里得-欧拉定理。到 2018 年 12 月为止,共发现了 51 个完全数,且都是偶数。最大的已知完全数为
共有 位数。以下是目前已发现的完全数共有的性质。
→ → → → →
- 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和,从 到 :
- 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和:
- 除6以外的偶完全数,还可以表示成连续奇立方数之和(被加的项共有 ):
- 每个完全数的所有约数(包括本身)的倒数之和,都等于2:(这可以用通分证得。因此每个完全数都是欧尔调和数。)
- 它们的二进制表达式也很有趣:(因为偶完全数形式均如 )
奇完全数
未解决的数学问题:奇完全数存在吗? | ![]() |
用计算机已经证实:在101500以下,没有奇完全数;至今还证明了,如果奇完全数存在,则它至少包含11个不同素数(包含一个不少于7位数的素因子)但不包含3,亦不会是立方数。一般猜测:奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限?至今都不能回答。
Carl Pomerance提出了一个想法说明奇完全数不太可能存在。
这个定理说明若存在奇完全数,其形式必如
或 。最初的证明在1953年由Jacques Touchard首先证明,1951年van der Pol用非线性偏微分方程得出证明。Judy A. Holdener在《美国数学月刊》第109卷第7期刊证了一个初等的证明。证明会使用这四个结果:(下面的n,k,j,m,q均为正整数)
引理的证明(甲):
使用反证法,设
为完全数,且 。。因为3的二次剩余只有0,1,故 非平方数,因此其正约数个数为偶数。
有正约数 ,则可得:
因此,
。故 。但
,矛盾。故
相关
- 多元不饱和脂肪多元不饱和脂肪是两类不饱和脂肪之一,分子中有多于一个双键,相比之下单元不饱和脂肪则只有一个双键,其余为单键。它必须从食物中摄取。常见的这类脂肪包括亚麻油酸及次亚麻油酸
- 福克斯广播公司福斯广播公司(英语:Fox Broadcasting Company; 简称:Fox,常作全部大写为“FOX”),也被称为“福斯电视网”,是美国一家商业地面电视联播网,为福斯公司的旗舰资产。福斯广播公司的总部
- 金枪鱼属金枪鱼属(学名:Thunnus)又名鲔属,是金枪鱼族(该族统称为金枪鱼)下5属之一的海洋生物,在英语中该属物种也被统称为真金枪鱼(true tuna, real tuna)。本属有8个品种,其中多数品种体积巨
- 行政执行署11485台北市内湖区康宁路三段51号7楼(法务部内湖联合办公大楼)法务部行政执行署台北分署:10457台北市中山区南京东路二段1号 电话:(02)2521-6555 法务部行政执行署新北分署:242
- 图米帕特里克·约瑟夫·“帕特”·图米(英语:Patrick Joseph "Pat" Toomey;1961年11月17日-),是一位美国共和党政治人物,自2011年成为宾夕法尼亚州联邦参议院资浅议员。此前,他曾在1999
- 任新民任新民(1915年12月5日-2017年2月12日),生于中华人民共和国安徽省宁国县(今安徽宁国市)。航天技术和火箭发动机专家,中国导弹与航天事业开创人之一。曾任中华人民共和国的卫星工程总
- 汤姆·巴汉弗-琼斯汤姆·巴汉弗-琼斯(英语:Tom Baehr-Jones,1980年1月15日-),生于纽约布鲁克林,研究并供职于纳米光子学的美国物理学家。他的研究成果发表于自然杂志、自然光子学杂志、自然材料学杂
- 叶夫根尼娅·博施叶夫根尼娅·博施(乌克兰语:Євгенія Богданівна (Готлібівна) Бош 俄语:Евге́ния Богда́новна (Го́тлибовна)
- 马德拉县马德拉县(英语:Madera County)是美国加利福尼亚州的一个县,位于中央谷地。面积5,577平方公里,根据美国2000年人口普查数字,共有人口123,109人。县治马德拉(Madera)。成立于1893年。
- 土库曼斯坦LGBT权益女同性恋、男同性恋、双性恋与跨性别者在土库曼的的权益不受法律保障。根据1997年通过的刑法典,在土库曼,男性同性性行为是非法行为,最高可被判处两年有期徒刑,但女性同性性行为