完全数(Perfect number),又称完美数或完备数,是一些特殊的自然数:它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和,恰好等于它本身,完全数不可能是楔形数、平方数、佩尔数或费波那契数。
例如:第一个完全数是6,它有约数1、2、3、6,除去它本身6外,其余3个数相加,
,恰好等于本身。第二个完全数是28,它有约数1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其余5个数相加,
,也恰好等于本身。后面的数是496、8128。
十进制的5位数到7位数、9位数、11位数、13到18位数等位数都没有完全数,它们不是亏数就是盈数。
古希腊数学家欧几里得是通过
的表达式发现前四个完全数的。
一个偶数是完美数,当且仅当它具有如下形式:
,其中
是素数,此事实的充分性由欧几里得证明,而必要性则由欧拉所证明。
比如,上面的
和
对应着
和
的情况。我们只要找到了一个形如
的素数(即梅森素数),也就知道了一个偶完美数。
尽管没有发现奇完全数,但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明,若有奇完全数,则其形式必然是
或
的形式,其中
是素数。
首十个完全数是(
A000396):
古代数学家根据当时已知的四个完全数做了很多假设,大部分都是错误的。其中的一个假设是:因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数,第 5 个完全数应该是第 5 个素数,即当
的时候,可是
并不是素数。因此
不是完全数。另外两个错误假设是:
事实上,第五个完全数
是
位数。
对于第二个假设,第五个完全数确实是以
结尾,但是第六个完全数
仍是以
结尾,应该说完全数只有以
和
结尾才对。
对完全数的研究,至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。
每一个梅森素数给出一个偶完全数;反之,每个偶完全数给出一个梅森素数,这结果称为欧几里得-欧拉定理。到 2018 年 12 月为止,共发现了 51 个完全数,且都是偶数。最大的已知完全数为
共有
位数。
以下是目前已发现的完全数共有的性质。
→
→ 
→
→
→ 
- 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和,从
到
:








- 除6以外的偶完全数,还可以表示成连续奇立方数之和(被加的项共有
):




- 每个完全数的所有约数(包括本身)的倒数之和,都等于2:(这可以用通分证得。因此每个完全数都是欧尔调和数。)


- 它们的二进制表达式也很有趣:(因为偶完全数形式均如
)







奇完全数
| 未解决的数学问题:奇完全数存在吗? |  |
用计算机已经证实:在101500以下,没有奇完全数;至今还证明了,如果奇完全数存在,则它至少包含11个不同素数(包含一个不少于7位数的素因子)但不包含3,亦不会是立方数。一般猜测:奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限?至今都不能回答。
Carl Pomerance提出了一个想法说明奇完全数不太可能存在。
这个定理说明若存在奇完全数,其形式必如
或
。最初的证明在1953年由Jacques Touchard首先证明,1951年van der Pol用非线性偏微分方程得出证明。Judy A. Holdener在《美国数学月刊》第109卷第7期刊证了一个初等的证明。
证明会使用这四个结果:(下面的n,k,j,m,q均为正整数)
引理的证明(甲):
使用反证法,设
为完全数,且
。
。因为3的二次剩余只有0,1,故
非平方数,因此其正约数个数为偶数。
有正约数
,则可得:
因此,
。故
。
但
,矛盾。
故
的形式只可能为
或
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