完全数

✍ dations ◷ 2025-04-03 11:49:52 #数学中未解决的问题,整数数列,趣味数学,除数函数

完全数(Perfect number),又称完美数或完备数,是一些特殊的自然数:它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和,恰好等于它本身,完全数不可能是楔形数、平方数、佩尔数或费波那契数。

例如:第一个完全数是6,它有约数1、2、3、6,除去它本身6外,其余3个数相加, 1 + 2 + 3 = 6 {\displaystyle {{{1}+{2}}+{3}}=6} ,恰好等于本身。第二个完全数是28,它有约数1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其余5个数相加, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 {\displaystyle {{{{{1}+{2}}+{4}}+{7}}+{14}}=28} ,也恰好等于本身。后面的数是496、8128。

十进制的5位数到7位数、9位数、11位数、13到18位数等位数都没有完全数,它们不是亏数就是盈数。

古希腊数学家欧几里得是通过 2 n 1 × ( 2 n 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}\times (2^{n}-1)} 的表达式发现前四个完全数的。

一个偶数是完美数,当且仅当它具有如下形式: 2 n 1 ( 2 n 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)} ,其中 2 n 1 {\displaystyle 2^{n}-1} 是素数,此事实的充分性由欧几里得证明,而必要性则由欧拉所证明。

比如,上面的 6 {\displaystyle 6} 28 {\displaystyle 28} 对应着 n = 2 {\displaystyle n=2} 3 {\displaystyle 3} 的情况。我们只要找到了一个形如 2 n 1 {\displaystyle 2^{n}-1} 的素数(即梅森素数),也就知道了一个偶完美数。

尽管没有发现奇完全数,但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明,若有奇完全数,则其形式必然是 12 p + 1 {\displaystyle 12p+1} 36 p + 9 {\displaystyle 36p+9} 的形式,其中 p {\displaystyle p} 是素数。

首十个完全数是(OEIS A000396):

古代数学家根据当时已知的四个完全数做了很多假设,大部分都是错误的。其中的一个假设是:因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数,第 5 个完全数应该是第 5 个素数,即当 n = 11 {\displaystyle n=11} 的时候,可是 2 11 1 = 23 × 89 {\displaystyle 2^{11}-1=23\times 89} 并不是素数。因此 n = 11 {\displaystyle n=11} 不是完全数。另外两个错误假设是:

事实上,第五个完全数 33550336 = 2 12 ( 2 13 1 ) {\displaystyle 33550336=2^{12}(2^{13}-1)} 8 {\displaystyle 8} 位数。

对于第二个假设,第五个完全数确实是以 6 {\displaystyle 6} 结尾,但是第六个完全数 8589869056 {\displaystyle 8589869056} 仍是以 6 {\displaystyle 6} 结尾,应该说完全数只有以 6 {\displaystyle 6} 8 {\displaystyle 8} 结尾才对。

对完全数的研究,至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。

每一个梅森素数给出一个偶完全数;反之,每个偶完全数给出一个梅森素数,这结果称为欧几里得-欧拉定理。到 2018 年 12 月为止,共发现了 51 个完全数,且都是偶数。最大的已知完全数为 2 82589932 × ( 2 82589933 1 ) {\displaystyle 2^{82589932}\times (2^{82589933}-1)} 共有 49724095 {\displaystyle 49724095} 位数。

以下是目前已发现的完全数共有的性质。

                    28              {\displaystyle 28}                      2        +        8        =        10              {\displaystyle 2+8=10}                      1        +        0        =        1              {\displaystyle 1+0=1}                      496              {\displaystyle 496}                      4        +        9        +        6        =        19              {\displaystyle 4+9+6=19}                      1        +        9        =        10              {\displaystyle 1+9=10}                      1        +        0        =        1              {\displaystyle 1+0=1}  
  • 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和,从 2 p 1 {\displaystyle 2^{p-1}} 2 2 p 2 {\displaystyle 2^{2p-2}}
                    6        =                  2                      1                          +                  2                      2                                {\displaystyle 6=2^{1}+2^{2}}                      28        =                  2                      2                          +                  2                      3                          +                  2                      4                                {\displaystyle 28=2^{2}+2^{3}+2^{4}}                      496        =                  2                      4                          +                  2                      5                          +                  2                      6                          +                  2                      7                          +                  2                      8                                {\displaystyle 496=2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}}                      8128        =                  2                      6                          +                  2                      7                          +        .        .        .        +                  2                      12                                {\displaystyle 8128=2^{6}+2^{7}+...+2^{12}}  
  • 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和:
                    6        =        1        +        2        +        3              {\displaystyle 6=1+2+3}                      28        =        1        +        2        +        3        +        4        +        5        +        6        +        7              {\displaystyle 28=1+2+3+4+5+6+7}                      496        =        1        +        2        +        3        +        .        .        .        +        30        +        31              {\displaystyle 496=1+2+3+...+30+31}                      8128        =        1        +        2        +        3        +        .        .        .        +        126        +        127              {\displaystyle 8128=1+2+3+...+126+127}  
  • 除6以外的偶完全数,还可以表示成连续奇立方数之和(被加的项共有 2 p 1 {\displaystyle {\sqrt {2^{p-1}}}} ):
                    28        =                  1                      3                          +                  3                      3                                {\displaystyle 28=1^{3}+3^{3}}                      496        =                  1                      3                          +                  3                      3                          +                  5                      3                          +                  7                      3                                {\displaystyle 496=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}}                      8128        =                  1                      3                          +                  3                      3                          +                  5                      3                          +        .        .        .        +                  15                      3                                {\displaystyle 8128=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+15^{3}}                      33550336        =                  1                      3                          +                  3                      3                          +                  5                      3                          +        .        .        .        +                  127                      3                                {\displaystyle 33550336=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+127^{3}}  
  • 每个完全数的所有约数(包括本身)的倒数之和,都等于2:(这可以用通分证得。因此每个完全数都是欧尔调和数。)
                                          1            1                          +                              1            2                          +                              1            3                          +                              1            6                          =                                            6              +              3              +              2              +              1                        6                          =        2              {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {6+3+2+1}{6}}=2}                                            1            1                          +                              1            2                          +                              1            4                          +                              1            7                          +                              1            14                          +                              1            28                          =                                            28              +              14              +              7              +              4              +              2              +              1                        28                          =        2              {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {28+14+7+4+2+1}{28}}=2}  
  • 它们的二进制表达式也很有趣:(因为偶完全数形式均如 2 n 1 ( 2 n 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)}
                    (        6                  )                      10                          =        (        110                  )                      2                                {\displaystyle (6)_{10}=(110)_{2}}                      (        28                  )                      10                          =        (        11100                  )                      2                                {\displaystyle (28)_{10}=(11100)_{2}}                      (        496                  )                      10                          =        (        111110000                  )                      2                                {\displaystyle (496)_{10}=(111110000)_{2}}                      (        8128                  )                      10                          =        (        1111111000000                  )                      2                                {\displaystyle (8128)_{10}=(1111111000000)_{2}}                      (        33550336                  )                      10                          =        (        1111111111111000000000000                  )                      2                                {\displaystyle (33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_{2}}                      (        8589869056                  )                      10                          =        (        111111111111111110000000000000000                  )                      2                                {\displaystyle (8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_{2}}                      (        137438691328                  )                      10                          =        (        1111111111111111111000000000000000000                  )                      2                                {\displaystyle (137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_{2}}  

奇完全数

未解决的数学问题:奇完全数存在吗?Question mark2.svg

用计算机已经证实:在101500以下,没有奇完全数;至今还证明了,如果奇完全数存在,则它至少包含11个不同素数(包含一个不少于7位数的素因子)但不包含3,亦不会是立方数。一般猜测:奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限?至今都不能回答。

Carl Pomerance提出了一个想法说明奇完全数不太可能存在。

这个定理说明若存在奇完全数,其形式必如 12 m + 1 {\displaystyle 12m+1} 36 q + 9 {\displaystyle 36q+9} 。最初的证明在1953年由Jacques Touchard首先证明,1951年van der Pol用非线性偏微分方程得出证明。Judy A. Holdener在《美国数学月刊》第109卷第7期刊证了一个初等的证明。

证明会使用这四个结果:(下面的n,k,j,m,q均为正整数)

引理的证明(甲):

使用反证法,设 n {\displaystyle n} 为完全数,且 n 1 ( mod 6 ) {\displaystyle n\equiv -1{\pmod {6}}}

n 1 ( mod 3 ) {\displaystyle n\equiv -1{\pmod {3}}} 。因为3的二次剩余只有0,1,故 n {\displaystyle n} 非平方数,因此其正约数个数为偶数。

n {\displaystyle n} 有正约数 d {\displaystyle d} ,则可得:

因此, ( n / d + d ) 0 ( mod 3 ) {\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {3}}} 。故 σ ( n ) = d < n d + n / d 0 ( mod 3 ) {\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {3}}}

2 n 2 ( 1 ) 1 ( mod 3 ) {\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 1{\pmod {3}}} ,矛盾。

n {\displaystyle n} 的形式只可能为 6 k + 1 {\displaystyle 6k+1} 6 k + 3 {\displaystyle 6k+3}

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