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凯莱-迪克森结构

✍ dations ◷ 2025-04-02 18:44:50 #凯莱-迪克森结构

${displaystyle mathbb {N} subseteq mathbb {Z} subseteq mathbb {Q} subseteq mathbb {R} subseteq mathbb {C} }$ 进数
数学常数

圆周率 ${displaystyle pi =3.141592653dots }$ 和的有序对(, )。同时加法运算为对应分量相加，乘法则定义为

一个第二分量为零的复数伴随着一个实数：复数(, 0)就是实数。

另一个重要的复数运算是共轭。(, )的共轭(, )*如下给出

共轭具有性质

这是一个非负实数。这样，共轭定义了一个“范数”，使复数成为了实数域上的赋范线性空间：复数的范数为

此外，对于任何非零复数，共轭给出一个乘法逆元

既然复数由两个独立的实数组成，则全体复数构成实数域上的线性空间。

此外，作为较高维的数，复数可以说比实数缺少了一个代数性质：一个实数的共轭是其自身。

构造的下一步是推广乘法和共轭。

复数 ${displaystyle a}$ 是一个带对合的代数，定义=⊕上的积和对合为

这里γ为一个和*以及左乘右乘可交换的加性映射。（在实数上γ的所有选择等价于−1,0或1）在这种构造中，是一个带对合的代数，意味着：

由凯莱-迪克森构造生成的代数=⊕仍然是带对合的代数。

继承自而未改变的性质有

的其他性质仅诱导出的较弱性质：

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