凯莱-迪克森结构

${\displaystyle \mathbb{N}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{Z}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{Q}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{R}\subseteq <!--\; \subseteq \; -->\mathbb{C}}$进数
数学常数

圆周率 ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=3.141592653\dots <!--\; \dots \; -->}$和的有序对(, )。同时加法运算为对应分量相加，乘法则定义为

一个第二分量为零的复数伴随着一个实数：复数(, 0)就是实数 。

另一个重要的复数运算是共轭。(, )的共轭(, )*如下给出

共轭具有性质

这是一个非负实数。这样，共轭定义了一个“范数”，使复数成为了实数域上的赋范线性空间：复数 的范数为

此外，对于任何非零复数 ，共轭给出一个乘法逆元

既然复数由两个独立的实数组成，则全体复数构成实数域上的线性空间。

此外，作为较高维的数，复数可以说比实数缺少了一个代数性质：一个实数的共轭是其自身。

构造的下一步是推广乘法和共轭。

复数${\displaystyle a}$是一个带对合的代数，定义=⊕上的积和对合为

这里γ为一个和*以及左乘右乘可交换的加性映射。（在实数上γ的所有选择等价于−1,0或1）在这种构造中，是一个带对合的代数，意味着：

由凯莱-迪克森构造生成的代数=⊕仍然是带对合的代数。

继承自而未改变的性质有

的其他性质仅诱导出的较弱性质：