自由群

在数学中，一个群 ${\displaystyle G}$ 的论文 中研究了自由群的概念，但未加以命名。“自由群”一词由 Jakob Nielsen 于1924年引入。

今将构造集合 ${\displaystyle S}$ 上之自由群 ${\displaystyle F(S)}$，分解动作如下。

若 ${\displaystyle S}$ 为空集，则 ${\displaystyle F(S)}$ 为平凡群。

上述构造 ${\displaystyle F(S)}$ 带有一个自然的集合映射 ${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}:S\to <!--\; \to \; -->F(S)}$。这对资料 ${\displaystyle (F(S),\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$ 满足以下泛性质：

事实上我们仅须，也必须设 ${\displaystyle f(s_1^{\pm <!--\; \pm \; -->1}\cdots <!--\; \cdots \; -->s_n^{\pm <!--\; \pm \; -->1}):=\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(s_1{)}^{\pm <!--\; \pm \; -->1}\cdots <!--\; \cdots \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(p_n{)}^{\pm <!--\; \pm \; -->1}}$ ；前述构造确保此式给出一个明确定义的群同态。

任两个满足上述泛性质的资料 ${\displaystyle (F_1,{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_1)}$、${\displaystyle (F_2,{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_2)}$ 至多差一个同构，因而刻划了自由群的群论性质。这种泛性质是泛代数中考虑的自由对象的特例，用范畴论的语言来说，函子 ${\displaystyle F(-<!--\; -\; -->):S\mapsto <!--\; \mapsto \; -->F(S)}$ 是遗忘函子的左伴随函子。

以下是一些相关定理：

自由群虽然看似是离散的对象，却可藉微分几何或拓扑学工具研究，上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例（可运用同伦上纤维的构造证明）；这套技术属于几何群论的一支。

将上述泛性质中的“群”替换成“阿贝尔群”，遂得到自由阿贝尔群的泛性质。集合 ${\displaystyle S}$ 上的自由阿贝尔群可视为自由 ${\displaystyle \mathbb{Z}}$-模来构造，或取作 ${\displaystyle F(S)}$ 的“交换化”： ${\displaystyle F(S)/}$（换言之，在考虑字串时不计符号顺序）。

塔斯基在1945年左右提出下述问题：

目前已有两个团队独立给出肯定的答案，但双方的证明都尚未被认可。请参见网址 的“O8”。