自由群

✍ dations ◷ 2025-07-30 00:31:48 #群论,组合群论,自由代数结构

在数学中,一个群 G {\displaystyle G} 的论文 中研究了自由群的概念,但未加以命名。“自由群”一词由 Jakob Nielsen 于1924年引入。

今将构造集合 S {\displaystyle S} 上之自由群 F ( S ) {\displaystyle F(S)} ,分解动作如下。

S {\displaystyle S} 为空集,则 F ( S ) {\displaystyle F(S)} 为平凡群。

上述构造 F ( S ) {\displaystyle F(S)} 带有一个自然的集合映射 ϕ : S F ( S ) {\displaystyle \phi :S\rightarrow F(S)} 。这对资料 ( F ( S ) , ϕ ) {\displaystyle (F(S),\phi )} 满足以下泛性质:

事实上我们仅须,也必须设 f ( s 1 ± 1 s n ± 1 ) := ψ ( s 1 ) ± 1 ψ ( p n ) ± 1 {\displaystyle f(s_{1}^{\pm 1}\cdots s_{n}^{\pm 1}):=\psi (s_{1})^{\pm 1}\cdots \psi (p_{n})^{\pm 1}} ;前述构造确保此式给出一个明确定义的群同态。

任两个满足上述泛性质的资料 ( F 1 , ϕ 1 ) {\displaystyle (F_{1},\phi _{1})} ( F 2 , ϕ 2 ) {\displaystyle (F_{2},\phi _{2})} 至多差一个同构,因而刻划了自由群的群论性质。这种泛性质是泛代数中考虑的自由对象的特例,用范畴论的语言来说,函子 F ( ) : S F ( S ) {\displaystyle F(-):S\mapsto F(S)} 是遗忘函子的左伴随函子。

以下是一些相关定理:

自由群虽然看似是离散的对象,却可藉微分几何或拓扑学工具研究,上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例(可运用同伦上纤维的构造证明);这套技术属于几何群论的一支。

将上述泛性质中的“群”替换成“阿贝尔群”,遂得到自由阿贝尔群的泛性质。集合 S {\displaystyle S} 上的自由阿贝尔群可视为自由 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模来构造,或取作 F ( S ) {\displaystyle F(S)} 的“交换化”: F ( S ) / {\displaystyle F(S)/} (换言之,在考虑字串时不计符号顺序)。

塔斯基在1945年左右提出下述问题:

目前已有两个团队独立给出肯定的答案,但双方的证明都尚未被认可。请参见网址 的“O8”。

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