分布式参数系统

分布式参数系统（distributed parameter system）不同于集总参数系统，是状态空间为无限维度的系统。这类系统也称为是无限维系统。典型的例子是用偏微分方程或是时滞微分方程描述的系统。以下段落所探讨的会以线性非时变分布式参数系统为主。

假设、和是希尔伯特空间，而 ∈ (),  ∈ (, ),  ∈ (, ) 和 ∈ (, )，以下方程可确定一个离散时间的线性非时变系统：

其中（状态）是序列，其值在内，（输入或是控制）是序列，其值在内，（输出）为序列，其值在内。

连续时间的例子类似离散时间，但需要用微分方程表示，不是用差分方程表示：

接下来复杂的部分就是将实际的问题（例如偏微分方程或是时滞微分方程）加到上述的抽象发展方程中，作法是强制使用无界算子。一般会假定状态空间里的C0半群（英语：strongly continuous semigroup）。假定、和是有界算子，允许包括多待分析的实际的例子，不过有些实际的例子也会假定和是无界的。

${\displaystyle t>0}$及输出空间都选定是复数的集合，状态空间选定是2(0, 1)，算子定义为:${\displaystyle Ax=-<!--\; -\; -->x^{\prime },D(A)=\left\{x\in <!--\; \in \; -->X:x\text{ absolutely continuous },x^{\prime }\in <!--\; \in \; -->L^2(0,1)\text{ and }x(0)=0\right\}.}$可以产生空间内的强连续半群。有界算子, 和定义为

时滞微分方程

符合上述的抽象发展方程。说明如下：输入空间及输出空间都选定是复数的集合，状态空间选定是2(−, 0)复数的乘积，算子定义为

可以证明可以产生空间内的强连续半群。有界算子, 和定义为

分布式参数系统的传递函数和有限维度下的情形相同，都是利用拉氏转换（连续时间）或是Z转换（离散时间）来定义。不过有限维度下的传递函数是真分式的有理函数，而无限维度的传递函数会是无理函数（不过仍然是全纯函数）。

离散时间的传递函数可以用状态空间参数，表示为以下的形式${\displaystyle D+\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}C{A}^{k}B{z}^k}$在A的resolvent set内（可能是另一个以圆心为原点，较小的圆盘），则传递函数为${\displaystyle D+Cz(I-<!--\; -\; -->zA{)}^{-<!--\; -\; -->1}B}$可产生强连续半群，且、及为有界算子，则传递函数可以用状态空间参数表示为${\displaystyle D+C(sI-<!--\; -\; -->A{)}^{-<!--\; -\; -->1}B}$的实部比产生半群的指数成长上界要大。在更广泛的情形下，上述公式不一定有意义，不过上述公式适当推广后的版本仍然会有效。

若要得到传递函数的简单表示式，较理想的方式是将微分方式进行拉氏转换，而不是用状态空间中的参数来表示。

令初始条件${\displaystyle w_0}$进行过拉氏转换的函数用大写表示，可以将偏微分方程转换为以下的形式

这是非齐次线性微分方程，变数为${\displaystyle \mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}}$为参数，且初始条件为零。其解为${\displaystyle W(s,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=U(s)(1-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->s\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}})/s}$ 的方式中并且积分，可以得到${\displaystyle Y(s)=U(s)(e^{-<!--\; -\; -->s}+s-<!--\; -\; -->1)/s^2}$值序列的集合映射到X的映射${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_n}$下达到的状态。The system is called

在连续时间系统中，${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_t}$2(0, ∞;)，是在(0, ∞)区间内值平方可积函数的（等效）空间，不过也有其他的定义，例如1(0, ∞;)。当${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_t}$映射到所有值序列空间的映射，若 ≤ ，表示为${\displaystyle ({\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_{n}x{)}_k=C{A}^{k}x}$ > 时，数值为0)。意思是${\displaystyle {\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_{n}x}$，控制输入为0时的truncated output。有以下几种可观察性

在连续时间系统的可观察性中，${\displaystyle {\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_t}$，若时为零）的角色和${\displaystyle {\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_n}$2(0, ∞, )，是（等效于）在定义域内的-值平方可积函数，不过也可以选择其他的函数空间，例如1(0, ∞, )。只要选择了${\displaystyle {\mathrm{\Psi <!--\; \Psi \; -->}}_t}$2时），这些不同概念的对偶如下：