劳斯阵列的推导

劳斯阵列是劳斯–赫尔维茨稳定性判据中，用来判断系统是否稳定的方式，是透过系统的特征多项式系数所建立的阵列。劳斯阵列和劳斯–赫尔维茨理论（英语：Routh–Hurwitz theorem）是古典控制理论的核心，结合了欧几里得算法和施图姆定理来计算柯西指标（英语：Cauchy indices）。

给定系统

假设${\displaystyle f(x)=0}$ = 0, 1, 2, ...），则因为公式(17)（${\displaystyle N}$和${\displaystyle P}$都是整数，因此${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}$也是整数），其结束点也会在不连续点。此时可以调整指标函数（正跳跃和负跳跃的差值）的计算方式，将正切函数的X轴移动${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}$，也就是在${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$上加${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}$。此时的指标函数在各种${\displaystyle f(x)}$的系数组合下都有定义，就是在起始点（及结束点）连续的区间(a,b) = ${\displaystyle (+j\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},-<!--\; -\; -->j\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})}$内计算${\displaystyle \tan <!--\; \; -->=\mathfrak{I}\mathfrak{m}/\mathfrak{R}\mathfrak{e}}$，再在起始点连续的区间，计算

差值${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}$是${\displaystyle x}$从正跳跃和负跳跃的差值，若计算从${\displaystyle -<!--\; -\; -->j\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$到${\displaystyle +j\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$所产生的差值，即为相角正切的柯西指标（英语：Cauchy Index），其相角为${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(x)}$或${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\prime }(x)}$，视${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_a}$是否是${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$的整数倍而定。

为了要推导劳斯准则，会将${\displaystyle f(x)}$的奇次方项和偶次方项分开来列：

因此可得到

若${\displaystyle n}$为偶数：

若${\displaystyle n}$为奇数：

可以看出若${\displaystyle n}$为奇数，根据(3)式，${\displaystyle N+P}$为奇数。若${\displaystyle N+P}$为奇数，${\displaystyle N-<!--\; -\; -->P}$也是奇数。同样的，若 ${\displaystyle n}$是偶数，${\displaystyle N-<!--\; -\; -->P}$也是偶数。(15)式可以看出若${\displaystyle N-<!--\; -\; -->P}$是偶数，${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$是${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$的整数倍。因此在${\displaystyle n}$为偶数时，${\displaystyle \tan <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$有定义，是n为偶数时使用的正确指标，在而在${\displaystyle n}$为奇数时，${\displaystyle \tan <!--\; \; -->({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^{\prime })=\tan <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})=-<!--\; -\; -->\cot <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$有定义，也是n为奇数时使用的正确指标。

因此，根据(6)式及(23)式，${\displaystyle n}$为偶数时：

因此，根据(19)式及(24)式，${\displaystyle n}$为奇数时：

因此可以计算相同的柯西指标：

${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=I_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\frac{b_0{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{n-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->b_1{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{n-<!--\; -\; -->3}+\dots <!--\; \dots \; -->}{a_0{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^n-<!--\; -\; -->a_1{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{n-<!--\; -\; -->2}+\dots <!--\; \dots \; -->}(27)}$