有效数字

有效数字（英文：Significant Figures, 或简写为Sig. Fig.），其代表一个数是由若干位数字组成，其中影响其测量精度的数字被称作有效数字，也称有效数位。

有效数字指科学计算中用以表示一定长度浮点数精度的那些数字。一般指一个用小数形式表示的浮点数中，从第一个非零的数字算起的所有数字，因此，1.24和0.00124的有效数字都有3位。并且在取有效数字时一般会遵循四舍五入的进位规则。例如取1.23456789为三位有效数字后的数值将会是1.23，而取四位有效数字后的数值将会是1.235。

简单的规则如下：

所有非零数字都有效。例如 91 有两位有效数字（9 和 1），而 123.45 有五位有效数字（1、2、3、4、5）。

两个非零数字之间的零都有效。例如 101.1203 有七位有效数字（1、0、1、1、2、0、3）。

开头的零始终无效。例如 0.00052 只有两位有效数字（5 和 2）。

包含小数点的数中，结尾的零是有效的。例如 12.2300 有六位有效数字（1、2、2、3、0、0），而 0.000122300 也只有六位有效数字（1 前面的 0 都无效），120.00 则有五位。这一规则是因为小数里结尾的零可以明确精度。例如在精确到小数点后四位（0.0001）进行度量时，如果仅给出 12.23 的结果，可能会被误解为测量时只精确到小数点后两位，而给出 12.2300 的结果，则可以明确有小数点后四位的精度（例子中的结果有六位有效数字）。

针对不包含小数点的数，结尾的零是否是有效数字可以有不同的理解。例如仅给出 1300，我们无法得知它是精确到了最小单位（只是恰巧是 100 的倍数），还是在百位或者十位做了舍入。有很多做法可以消除歧义：

不过很多时候人们并不使用这些消歧义的做法，后缀的零是否属于有效数字只能从上下文分辨。需要时也可以直接标明有效数字位数，比如可以写“20000（两位有效数字）”。

大多数情况下，使用科学记数法的数也可以使用上述规则判别有效数字。不过正规化形式的科学记数法没有前缀和后缀的零，所有数字都是有效的。比如 0.00012（两位有效数字）会被记作 ${\displaystyle 1.2\times <!--\; \times \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->4}}$ 位有效数字”来描述按照有效数字的修约，做法如下：

有效數字的減法運算法，則是為減之前先調整各數的有效位數使與減數中有效位數最小者相同再進行減法運算。

例：3.86 m + 2.4 m = 6.3 m

• 乘除运算，应先对测量值进行计算后，把答案四舍五入到和测量值的最小精度值相同的有效数字位数；

例：409.2 km / 11.4 L = 35.9 km/L

• 取对数(不管是常用对数还是自然对数，即不管对数的底数为何)，按照有效数字的个数来确定小数点后的位数(位数等于个数)；

• 取指数，按照小数点后的位数来确定有效数字的个数(个数等于位数)；

• 科学常数和整数可以取任意位有效数字。

近似值

令${\displaystyle x}$是某个数量的真值，${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}$是${\displaystyle x}$的近似值；${\displaystyle x}$与${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}$都用十进制表示。有效数字就是指${\displaystyle x}$与${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}$的多少位数字是一致的。确切地说，${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}$有${\displaystyle x}$的m位有效数字，则从${\displaystyle x}$的左端非零数字所在位起，绝对误差|${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}-<!--\; -\; -->x}$|的前m个十进制数位为0，随后一位数字取值从0到5.例如：

如果${\displaystyle x}$用科学记数法表示为${\displaystyle x=\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}.\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}\dots <!--\; \dots \; -->\mathrm{◻<!--\; ◻\; -->}\times <!--\; \times \; -->{10}^n}$，则${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}$有${\displaystyle x}$的m位有效数字，如果${\displaystyle |x-<!--\; -\; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}|\le <!--\; \le \; -->5\times <!--\; \times \; -->{10}^{n-<!--\; -\; -->m}}$。${\displaystyle \stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}}$有${\displaystyle x}$的m位有效数字，则二者相对误差不超过${\displaystyle 5\times <!--\; \times \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->m}}$。