庞加莱-霍普夫定理

✍ dations ◷ 2025-11-01 15:39:00 #微分拓扑学,数学定理

数学上,庞加莱-霍普夫(Poincaré-Hopf)定理(也称为庞加莱-霍普夫指标定理,庞加莱-霍普夫指标公式,或霍普夫指标定理)是微分拓扑的重要定理。

定理:令 为紧微分流形。令 为 上有孤立零点的向量场。若 有边界,则我们要求在边界上 指向边界的外法向。然后,我们有如下公式

其中,求和取遍 的孤立零点而 χ ( M ) {\displaystyle \chi (M)} 的欧拉示性数。

定理由庞加莱在二维的情况证明,而后由霍普夫推广到高维。

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