拉马努金求和

拉马努金求和（英语：Ramanujan summation）是由数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金所发明的数学技巧，指派一特定值予无限发散级数。尽管拉马努金求和不是传统的和的概念，其在探讨发散级数上极有用处；因为在此情形下，传统的求和方式是无法定义的。拉马努金求和的成果可用在复分析、量子力学及弦理论等领域。拉马努金求和法本质上是部分和的性质，而非整个数列的级数和性质，后者在此情形通常是无法定义的。若我们同时采用欧拉-麦克劳林求和公式以及伯努利数的修正规则，可得：拉马努金写道：当p趋近于无限大，其中C是此级数的特定常数，然而拉马努金并未指定其解析延拓以及积分的上下限。将两式作比较，并假设R趋近于0，而x趋近于无限大；当一函数 f(x) 在x = 0不发散：其中拉马努金假设 a = 0 {displaystyle scriptstyle a,=,0} 。若设 a = ∞ {displaystyle scriptstyle a,=,infty } ，可得到寻常收敛级数的求和式。当一函数 f(x) 在x = 1不发散，可得：C(0)因此被提议用作发散数列的和。在此建立了求和与积分之间的桥梁。下文中， ( ℜ ) {displaystyle scriptstyle (Re )} 表示“拉马努金求和法的值”。此式最早出现在拉马努金的笔记本，笔记本中没有任何注记指示出此为一种新求和法的范例。举例来说，1 - 1 + 1 - 1 + ⋯的 ( ℜ ) {displaystyle scriptstyle (Re )} 为:拉马努金计算了一些知名发散级数的“和”。注意到拉马努金和并非一般级数和的概念，亦即部分和不会收敛到 ( ℜ ) {displaystyle scriptstyle (Re )} 这个值。又如1 + 2 + 3 + 4 + ⋯的拉马努金和 ( ℜ ) {displaystyle scriptstyle (Re )} ：延伸至正偶数幂，可得：而奇数幂的结果则与伯努利数有关：目前有提议采用C(1)取代C(0)作为拉马努金求和的结果，以其可保证一个级数 ∑ k = 1 ∞ f ( k ) {displaystyle scriptstyle sum _{k=1}^{infty }f(k)} 允许唯一的拉马努金求和结果。如此拉马努金求和的定义（标作 ∑ n ≥ 1 ℜ f ( n ) {displaystyle scriptstyle sum _{ngeq 1}^{Re }f(n)} ）与早期拉马努金求和C(0)不相同，也与收敛级数求和的结果不相同；但其带有有趣的性质：若R(x)趋近于一个有限值极限，当x → +1，则此级数 ∑ n ≥ 1 ℜ f ( n ) {displaystyle scriptstyle sum _{ngeq 1}^{Re }f(n)} 是收敛的，而可得特别是如下例子：其中γ是欧拉-马斯刻若尼常数。拉马努金求和可以延伸至积分：举例来说，运用欧拉-麦克劳林求和公式可写出此为ζ函数正规化演算积分的自然延伸。迭代方程式为有限的，因为当 m − 2 r < − 1 {displaystyle m-2r<-1} ，其中要是 Λ → ∞ {displaystyle Lambda rightarrow infty } ，拉马努金求和可以应用在量子场论的重整化方法，得到有限值的结果。