巴特沃斯滤波器

巴特沃斯滤波器是一种通频带（英语：passband）之频率响应曲线平坦无纹波的信号处理滤波器（英语：Filter (signal processing)）。它也被称作最大平坦滤波器。这种滤波器最先由英国工程师、物理学家斯替芬·巴特沃斯（英语：Stephen Butterworth）在1930年发表的论文《滤波器放大器理论研究》中提出的。

巴特沃斯滤波器的特点是通频带（英语：passband）内的频率响应曲线最大限度平坦，没有纹波，而在阻频带则逐渐下降为零。在对数波特图上，从某一边界角频率开始，幅度随着角频率的增加而线性减少至负无穷。

一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频6 dB，每十倍频20 dB（所有一阶低通滤波器具有相同的归一化频率响应）。二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12 dB、 三阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频18 dB、如此类推。巴特沃斯滤波器的幅度是 ω 的一个单调函数，并且也是唯一的无论阶数，幅度对角频率曲线都保持同样的形状的滤波器。只不过滤波器阶数越高，在阻频带幅度衰减速度越快。其他滤波器高阶的幅度对角频率图和低级数的幅度对角频率有不同的形状。

阶巴特沃斯低通滤波器的增益 ${\displaystyle G(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$ 趋近于无穷，增益变为一个矩形函数，频率低于 ω_c 的会以 ${\displaystyle G_0}$ 值，截止就会变得不十分尖锐。

我们希望能够（通过拉普拉斯变换）确定传递函数 ，其中 ${\displaystyle s=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}+j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$ 个极点等距离地分布在半径为 ω_c 的圆上，并关于虚轴对称。为了具有稳定性，传递函数 H(s) 要选择只包含 负实半平面的极点。第 个极点为

因此，

阶巴特沃斯低通滤波器的幅度和频率关系可用如下的公式表示：

${\displaystyle G_n(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\left|H_n(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\right|=\frac{1}{\sqrt{1+(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}/{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{\mathrm{c}}{)}^{2n}}}}$的头(2n-1)次导数在时为零，说明放大率对 ω 是常数。因此巴特沃斯滤波器又被称为最平坦的滤波器。

因此，n阶巴特沃斯低通滤波器的高频衰减为每十倍频20n 分贝。

k阶巴特沃斯滤波器的考尔第一型电子线路图如下: 其中：

下图是巴特沃斯滤波器（左上）和同阶I型切比雪夫滤波器（右上）、II型切比雪夫滤波器（左下）、椭圆函数滤波器（右下）的频率响应图。

由图可见，巴特沃斯滤波器的衰减速度比其他类型滤波器缓慢，但十分平坦，没有幅度变化。