诺特环

✍ dations ◷ 2025-11-18 23:57:58 #交换代数,抽象代数,环论

诺特环是抽象代数中一类满足升链条件的环。希尔伯特首先在研究不变量理论时证明了多项式环的每个理想都是有限生成的，随后埃米·诺特从中提炼出升链条件，诺特环由此命名。

一个环 $A {\displaystyle A}$ $A$ 称作诺特环，当且仅当对每个由 $A {\displaystyle A}$ $A$ 的理想构成的升链 ${\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset \ldots ,\subset {\mathfrak {a}}_{n}\subset \ldots$ ${\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset \ldots ,\subset {\mathfrak {a}}_{n}\subset \ldots$ ，必存在 $N\subset \mathbb {N}$ $N\subset {\mathbb {N}}$ ，使得对所有的 $n,m\geq N$ $n,m\geq N$ 都有 ${\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{m}$ ${\mathfrak {a}}_{n}={\mathfrak {a}}_{m}$ （换言之，此升链将会固定）。

另外一种等价的定义是： $A {\displaystyle A}$ $A$ 的每个理想都是有限生成的。

将上述定义中的理想代换为左理想或右理想，可以类似地定义左诺特环与右诺特环。 $A {\displaystyle A}$ $A$ 是左（右）诺特环当且仅当 $A {\displaystyle A}$ $A$ 在自己的左乘法下形成一个左（右）诺特模。对于交换环则无须分别左右。

以下是非诺特环的例子：

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