正图形

✍ dations ◷ 2025-06-30 13:16:48 #多胞形,对称

在几何学中,正图形或正几何形状(英语:Regular Geometric Shape)是一类具有高度对称性的几何结构。其中,若该几何结构是由线段、平面或超平面的边界构成则又可称为正多胞形(英语:Regular polytope)。

和正图形相对的概念为不规则图形(Irregular Geometric Shape)或不规则几何形状、非正几何形状,其对称性比正图形低或无对称性。在不规则图形中,依照对称性的高低又可以分为拟正图形(Quasiregular)、半正图形(英语:Semiregular_polytope)(Semiregular)、似正(英语:Demiregular tiling)图形(Demiregular)、均匀图形(英语:Uniform_polytope)(Uniform)等几何结构。

正多胞形是一种对称性对于标记可递的几何结构,且具有高度对称性,对于该几何体内所有同维度的元素(如:点、线、面)都完全具有相同的性质,并且每一个元素皆为一个正图形,例如,正方体所有的面的面积及形状皆相同,且皆为正方形,是一个二维正多胞形、所有边的长度也相同,所有角的角度及形式也相同,因此正方体是一个正图形或正多胞形。对于所有元素,或叫维面(对所有的 0 ≤  ≤ n,其中n是该几何体所在的维度) — 胞、面等等 — 也都对于多胞形的对称性可递,也是≤ 维的正图形。

正图形是正多边形(例如:正方形或者正五边形)和正多面体(例如立方体)的向任意维度的推广类比。正图形极强的对称性使它们拥有极强的审美价值,吸引着数学家和数学爱好者。

一般地,维正图形被定义为有正维面和正顶点图。这两个条件已经能充分地保证所有面、所有顶点都是相似的。但要注意的是,这一定义并不适用于抽象多胞形(英语:abstract polytope)。

一个正图形能用形式为{a, b, c, ...., y, z}的施莱夫利符号代表,其正的面为{a, b, c, ..., y},顶点图为{b, c, ..., y, z}。

正图形最基础的分类是按其维度。

它们能够按照对称性进一步分类。例如,正方体和正八面体有着相同的对称性,同样,正十二面体和正二十面体也是。事实上,对称群大多依照正图形命名,例如正四面体对称群和正二十面体对称群。

3种特殊类型的正图形存在于所有维度:

在二维,这里有无穷多个正多边形。在三维和四维这里有许多上述三种之外的正多面体和正多胞体。在五维及以上维,只存在这三种类型的正图形。另见正图形列表。

正图形的概念有时被扩展,使其包括了另外一些相关的几何对象。其中一些有正的例子,下面“历史发现”一章将会详细说明。

施莱夫利符号是一个简洁有力的多面体表示法,是19世纪由路德维希·施莱夫利所发明的,一个改进了的版本随后成为了标准。这种记号可通过维度依次增加一获得最好的解释。

正图形的对偶形也是正图形。对偶图形的施莱夫利符号就是将原来的符号倒过来写:{3,3}为自身对偶,{3,4}与{4,3}对偶,{4,3,3}与{3,3,4}对偶,以此类推。

正图形的顶点图的对偶即是其对偶图形的维面。例如{3,3,4}的顶点图是{3,4},其对偶即是{4,3} — {4,3,3}的一个胞。

任何维的超方形和正轴形都是互相对偶的。

如果其施莱夫利符号是回文,即正反读都一样,那么这个正图形就是自身对偶的。自身对偶正图形包括:

我们从点开始。标下与相距的点,并连接它们,形成线段。在垂直与它的第二维度标下与、都相距的第三点,并连接、,形成正三角形。在垂直与它的第三维度标下与三点都相距的第四点,连接四点,便形成正四面体。用同样的方法,我们可以得到更高维的类似正图形。

这些就是正单纯形。以维度来排序,它们是:

从一个点开始。连一条线到距离为的,形成一条线段。延伸第二条长为的线,垂直于,将连接到,同样链接到,形成一个正方形。从每个顶点同样延伸出长为的线,同时垂直于和,标记点、、、形成立方体。用同样的方法,我们可以得到更高维的类似正图形。

它们就是超方形或称正测形。以维度来排序,它们是:

从一个点开始。从向两个相反的方向延出两条线到距点距离为的和,互相之间距离为2,形成一条线段。同样再画线段,长度为2,以为中点而垂直于。连接4个顶点形成正方形。再画线段,同样长度为2,中点为,同时垂直于和(即上下方向)。将其顶点与正方形顶点一一相连得到正八面体。用同样的方法,我们可以得到更高维的类似正图形。

这样得到的图形称为正轴形或交叉形。以维度来排序,它们是:

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