平衡点

在数学中，平衡点是相对微分方程或差分方程的概念。对于微分方程若 f ( t , x ~ ) = 0 {displaystyle mathbf {f} (t,{tilde {mathbf {x} }})=0} 对任意 t {displaystyle t} 都成立，则称 x ~ {displaystyle {tilde {mathbf {x} }}} 为此微分方程的平衡点。类似地，对于差分方程若 f ( k , x ~ ) = x ~ {displaystyle mathbf {f} (k,{tilde {mathbf {x} }})={tilde {mathbf {x} }}} 对 k = 0 , 1 , 2 , … {displaystyle k=0,1,2,ldots } 都成立，则称 x ~ {displaystyle {tilde {mathbf {x} }}} 为此差分方程的平衡点。微分方程可以被线性化为以下形式其中 A {displaystyle mathbf {A} } 是 f ( t , x ) {displaystyle mathbf {f} (t,mathbf {x} )} 在平衡点 x ~ {displaystyle {tilde {mathbf {x} }}} 处的雅可比矩阵。通过观察矩阵 A {displaystyle mathbf {A} } 的特征值的符号，可以判断平衡点 x ~ {displaystyle {tilde {mathbf {x} }}} 的稳定性。若 A {displaystyle mathbf {A} } 的所有的特征值的实部均不为0，则 x ~ {displaystyle {tilde {mathbf {x} }}} 被称为双曲平衡点。若所有特征值的实部均为负值，则此平衡点是稳定点。若至少存在一个特征值的实部为正值，则此平衡点是不稳定点。若至少有一个特征值的实部为正，且至少有一个特征值的实部为负，则此平衡点是鞍点。关于差分方程的平衡点也可作相似的分类。设 G {displaystyle mathbf {G} } 是 f ( k , x k ) {displaystyle mathbf {f} (k,mathbf {x} _{k})} 在平衡点 x ~ {displaystyle {tilde {mathbf {x} }}} 处的雅可比矩阵。若 A {displaystyle mathbf {A} } 的所有的特征值的模均不为1，则 x ~ {displaystyle {tilde {mathbf {x} }}} 被称为双曲平衡点。若所有特征值的模均为小于1，则此平衡点是稳定点。若至少存在一个特征值的模大于1，则此平衡点是不稳定点。若至少有一个特征值的模大于1，且至少有一个特征值的模小于1，则此平衡点是鞍点。