经典控制理论

✍ dations ◷ 2025-09-16 01:19:13 #控制工程,经典控制,数学模型

在控制理论中,经典控制理论(Classical control theory)是以拉普拉斯变换为分析工具,探讨有控制系统之特性、以及反馈对系统特性的影响。

控制理论中常见的目标是要控制特定系统(称为受控体),使其输出可以依照控制信号(称为参考信号,可能是定值或是变动量)。为了实现此目的,会设计控制器来监控输出,并且比较输出和参考信号。实际输出和参考信号的差(称为误差信号)会反馈到控制器中,再由控制器产生受控体的输入信号,使受控体的实际输出接近参考信号。

经典控制理论主要处理线性时不变的单一输入单一输出系统,可以计算系统输入信号及输出信号的拉普拉斯变换,而系统的传递函数和输入信号及输出信号的拉普拉斯变换有关。

有些控制器不需要系统资讯,这类控制器称为开回路控制器,缺点是无法监控受控体的输出,无法针对误差进行修正。为了改善这些开回路控制器的问题,经典控制理论引入了负反馈的概念,形成了闭回路控制器。闭回路控制器利用反馈来控制动力系统的状态或是输出。反馈是系统的讯号(例如电压或是电流),对应受控体的状态或输出(例如电动机的速度或是转矩)有关,反馈一般是透过传感器量测到的讯号,再送回控制器为输入讯号,因此形成一个回路。

相较于开回路控制器,闭回路控制器有以下的优点:

有些系统会同时使用开回路控制及闭回路控制,这类系统中的开回路控制称为前馈控制,目的是进一步提升系统追随参考命令的性能。

像PID控制器就是常见的闭回路控制器。

控制系统可以在时域下建模,将系统的输出表示为输入、先前系统状态及时间的函数。随着时间变化,系统的状态及输出会随之改变。不过系统的时域模型多半会是高阶的微分方程,人工很不容易求解,有些方程甚至用电脑不容易快速的求解。

为了处理这样的问题,经典控制理论使用拉普拉斯变换将时域的线性非时变常微分方程转换为s域代数多项式。若系统转换到s域中,在处理上会方便很多。

现代控制理论则用不同方式处理,会将常微分方程转换为低阶的时域微分方程组,对应的变数称为状态空间,后续则由线性代数的技巧来处理这些方程组

经典控制理论会用拉普拉斯变换来为系统及信号建模,拉普拉斯变换是针对连续时间信号或系统的频域分析工具,不论是否稳定都可以使用。一个定义在正 ≥ 0下的函数 (),其拉普拉斯变换是函数(),是以下式定义的单方向转换

其中是复数的频率参数

系统的输出会透过感测器量测设备送回控制器,和参考值比较。控制器会计算输出和参考值之间的误差,并且调整受控系统的输入信号。如图所示,这类的控制器即为闭回路控制器或回授控制器。

上述的系统称为单一输入单一输出(SISO)系统,也有许多系统属于多重输入多重输出(MIMO)系统,输入及输出信号不止一个。这类系统的输入变数及输出变数不会用标量表示,而是用向量(英语:coordinate vector)表示。若是针对分布式参数系统,其向量可能会是无限维数(多半会用函数表示)。

若假设控制器、受控体、感测器都是线性,而且是时不变系统(其传递函数、、不会随时间变化),上述的系统可以用拉普拉斯变换来分析,可得到下式:

将()以()来表示,可得

H ( s ) = P ( s ) C ( s ) 1 + F ( s ) P ( s ) C ( s ) {\displaystyle H(s)={\frac {P(s)C(s)}{1+F(s)P(s)C(s)}}} 到的前向(开回路)增益,分母是1加上回授回路的增益(称为回路增益)。若 | P ( s ) C ( s ) | 1 {\displaystyle |P(s)C(s)|\gg 1} 都有大的范数,且 | F ( s ) | 1 {\displaystyle |F(s)|\approx 1} 会近似,输出会追随参考输入的变化。

PID控制器可能是最常使用的控制器,PID三个字母分别代表比例、积分及微分,是三种根据误差讯号产生输出控制信号的方式。令是送到受控系统的控制信号,是量测输出、是理想的输出信号,追随误差 e ( t ) = r ( t ) y ( t ) {\displaystyle e(t)=r(t)-y(t)} ,PID控制器可以用下式表示

可以透过调整三个参数 K P {\displaystyle K_{P}} , K I {\displaystyle K_{I}} and K D {\displaystyle K_{D}} 来得到理想的控制回路动态,一般会反复的调整,不一定需要有关受控系统的具体资讯。若只用比例控制,一般在适当的比例下可以确保其稳定性,积分项会消除步阶扰动的影响(在过程控制中的重要规格),微分项是提供系统阻尼,或是调整响应特性。PID控制器是控制系统中最常用到的一种。不过不一定适用在许多复杂的应用中(例如多重输入多重输出系统)。

对PID控制器进行拉氏转换可得到下式:

可以得到其传递函数

若将PID控制器表示为以下的形式

回授回路中的一阶滤波器

有滤波输入的线性致动器

将这些放在闭回路传递函数H(s)的式子中,调适就很简单了,只要令

且令H(s) = 1。

在实际的PID控制器中,纯微分器在物理上无法实现,也会引入一些不想要的特性,会放大高频噪声,也会增加系统的共振点,因此会改用相位领先的补偿器,或是微分器再加上低通的滚降。

经典控制理论中会使用许多工具来分析系统,并且设计控制器。工具包括有根轨迹图、奈奎斯特稳定判据、波德图、增益裕度及相位裕度等。

相关

  • 不特定的间质性肺炎非特异性间质性肺炎(Non-specific interstitial pneumonia,简称NSIP)属于一种特发性间质性肺炎。症状包含咳嗽、呼吸困难,以及疲倦。目前认为属于一种自体免疫有关,可能为未分化
  • 色胺酸色氨酸(英语:Tryptophan, 缩写Trp或W)是22个标准氨基酸之一,人体不能合成的必需氨基酸,因此它须从食物中汲取。它的标准遗传密码的密码子编码为UGG,只有L-立体异构体色氨酸有构造
  • 酮是一类有机化合物,通式RC(=O)R',其中R和R'可以是相同或不同的原子或官能团。酮的结构特征是具有一个与两个碳原子相连接的羰基(C=O)。最简单的酮是丙酮。酮是唯一一类羰基碳直
  • 葡语系奥林匹克委员会总会葡语系奥林匹克委员会总会(葡萄牙语:Associação dos Comités Olímpicos de Língua Oficial Portuguesa,简称葡语奥委会总会及ACOLOP) 于2004年6月8日成立于里斯本,目的为加
  • 加加林国外奖励:尤里·阿列克谢耶维奇·加加林(俄语:Юрий Алексеевич Гагарин,1934年3月9日-1968年3月27日),苏联航天员,苏联红军上校飞行员,是首个进入太空的人类。1
  • 欧立德欧立德(Mark C. Elliott),美国汉学家,费正清中国研究中心总监和哈佛大学亚洲历史教授,现为新清史的旗手之一。主要研究领域为晚期帝制与现代中国史、中国与内亚关系史,关注议题包
  • 日射脊板珊瑚见内文日射脊板珊瑚(学名:),又名日射珊瑚、脊板珊瑚,是一属已灭绝的珊瑚,生存于泥盆纪的浅海中。日射脊板珊瑚单个生活,有时群生,敞开枝状或相连接的珊瑚单体。萼长有隔膜,能到达珊瑚
  • 大吻前鳍鲉科大吻前鳍鲉科是辐鳍鱼纲鲉形目的一个科。旗下仅有一属一种,即白豚大吻前鳍鲉(),为温带海水鱼,分布于西南太平洋澳洲海域,体长可达16公分,栖息在大陆棚底层水域,生活习性不明。 维基
  • 高名凯高名凯(1911年3月28日-1965年1月3日),男,福建平潭人。中国语言学家,汉语语法学家,文学翻译家。1911年3月28日生于福建省平潭县苏澳区先进乡土库村。7岁入私塾读书,10岁入平潭开宗小
  • 琼·杰特琼·杰特(Joan Jett,1958年9月22日-),是美国著名艺人,知名摇滚吉他手兼主音、作词家、作曲家、唱片制作人与女演员。她最受人注目就是她的乐队Joan Jett & the Blackhearts,而她著