前推 (微分)

假设  : → 是光滑流形之间的光滑映射；则 在一点 处的微分在某种意义上是 在 附近的最佳线性逼近。这可以视为通常微积分中全导数的推广。确切地说，它是从 在 处的切空间到 在 () 处的切空间的一个线性映射，从而可以将 的切向量“前推”成 的切向量。

映射 的微分也被一些的作者称为 的导数或全导数，有时它自己也之称为前推（pushforward）。

设 :→ 是从 Rm 的一个开集 到 Rn 的开集 的一个光滑映射。对任何 中的给定点 ， 在 的雅可比矩阵（关于标准坐标）是 在 的全微分的矩阵表示，这是一个从 Rm 到 Rn 的线性映射：

我们希望将其推广到 是“任何”两个光滑流形 与 之间的光滑映射。

令  : → 是光滑流形间的光滑映射。给定某点 ∈ ， 在 的微分或（全）导数是从 在 的切空间到 在 () 的切空间一个线性映射

映射 d_x 运用到切向量 上有时称为 由 的前推。前推的确切定义取决于我们怎样定义切向量（不同的定义可参见切空间）。

如果我们定义切向量为通过 的曲线等价类，那么微分由

给出，这里 是 上满足 (0) = 的一条曲线。换句话说，一条曲线 在 0 处切向量的前推恰好是 ${\displaystyle \circ <!--\; \circ \; -->}$ 在 0 处的切向量。

另一种方式，如果切向量定义为作用在光滑实值函数上的导子，那么微分由

给出，这里 ∈ ，从而 是定义在 上的一个导子而 是 上一个光滑实值函数。根据定义，在给定 上 处 的前推在 ₍₎ 中，从而定义了一个N上的导子。

取定 与 () 附近的坐标卡以后， 局部由 R 与 R 之间的光滑映射

确定。而 d_x 具有表示（在 附近）：

这里使用了爱因斯坦求和约定，偏导数对 坐标卡相应的 中的点取值。

线性扩张得到如下矩阵

从而光滑映射 在每一点的微分是切空间之间的一个线性变换。从而在某些选定的局部坐标下，它表示为相应的从 R 到 R 光滑映射的雅可比矩阵。一般情形，微分不要求可逆。如果 是一个局部微分同胚，那么在 点的前推是可逆的，其逆给出 ₍₎ 的拉回。

另外，局部微分同胚的微分是切空间之间的线性同构。

微分经常有其他一些记法，比如

从定义可得出复合函数的微分便是微分的复合（即，具有函子性质），这便是光滑函数微分的链式法则。

光滑映射 的微分以显而易见的方式诱导了从 的切丛到 的切丛的一个丛映射（事实上是向量丛同态），记为 d 或 _*，满足如下的交换图表：

这里 与 分别表示 与 切丛的丛投影。

等价地（参见丛映射），_* = d 是从 到 上的拉回丛 的丛映射，这可以看成 上向量丛 Hom(,*) 的一个截面。

给定了一个光滑映射 :→ 与 上一个向量场 ，一般不能定义 通过 的前推为 的一个向量场。譬如，如果映射 不是满射，则在 的像外部没有自然的方式定义拉回；如果 不是单射也有可能在给定一点拉回不止一种选择。无论如何，可以用“沿着映射的向量场”概念将难处变精确。

上 的一个截面称为沿着 的向量场。例如，如果 是 的一个子丛而 是包含映射，那么沿着 的向量场恰好是 沿着 的切丛的一个截面；特别的， 上的向量通过 包含到 中定义这样一个截面。这种想法推广到任何光滑映射。

假设 是 上一个向量场，即 的一个截面。那么，运用逐点微分得出 的前推 _*，这是一个沿着 的向量场，即 上 的一个截面。

任何 上的向量场 定义了 的一个拉回截面 使得 () = ₍₎。 上一个向量场 与 上一个向量场 称为 -相关的，如果作为沿着 的向量场有 = 。换句话说，对任何 属于 ，有 d()=₍₎。

在某些情形，给定 上一个向量场 ， 上只有惟一的向量场 与 -相关。特别地，这在 是微分同胚时自然成立。在这种情况下，前推定义了 上一个向量场 ，由

给出。一个更一般的情形是 为满射（比如纤维丛的丛投影）。这时 上的向量场 称为可投影的，如果对任何 属于 , d() 与 属于 -1({}) 的取法无关。这恰好是保证 的前推可以作为 上的一个良定的向量场的条件。