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多重线性映射

✍ dations ◷ 2025-09-12 02:02:08 #多重线性映射

在线性代数中，多重线性映射是有多个向量变量而对每个变量都是线性的函数。

个变量的多线性映射也叫做重线性映射。

如果所有变量属于同一个空间，可以考虑对称、反对称和交替的重线性映射。后两个是一致的，如果底层的环（或域）有不同于二的特征，否则前两个是一致的。

一般讨论可见多重线性代数。

可以考虑在有单位元的交换环K上的×矩阵上的多重线性函数为矩阵的行（或等价说列）上的函数。设是这样的矩阵而 ${displaystyle a_{i}}$ ≤ 是的行。则多重线性函数可以写为

满足

如果我们设 ${displaystyle varepsilon _{j}}$ 的多线性我们重写（）为

继续这种代换于每个 ${displaystyle a_{i}}$ ≤

所以D(A)是唯一的决定自它如何运算于 ${displaystyle D(varepsilon _{k_{1}},dots ,varepsilon _{k_{n}})}$ ×矩阵的情况下我们得到

这里的 ${displaystyle varepsilon _{1}=}$ ×矩阵上行列式函数:

多重线性映射有零值，只要它的一个参数是零。

对于>1，唯一的也是线性映射的-线性映射是零函数。

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