玻尔半径

尼尔斯·玻尔于1913年提出了原子构造的玻尔模型，其中电子环绕着原子核运转。模型中提及电子只会在特定的几个距离（视能量而定）环绕原子核运转。而最简单的原子──氢原子──只有一个电子轨道，该轨道也是电子可运行的最小轨道，其能量是最小的，从原子核向外找到此轨道的最可能距离就被称为玻尔半径。

根据科学技术数据委员会（CODATA）2014年的数据，玻尔半径的值为5.2917721067(12)×10−11米（即约53皮米或0.53埃格斯特朗）。括号内的数字代表最后数位的不确定度。此值能用其他物理常数计算出：

${\displaystyle a_0=\frac{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}^2}{m_e{e}^2}=\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{m_{e}c\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$

其中：

尽管玻尔模型并没有正确地描述原子，玻尔半径还是保有了它的物理意义，代表着电子云大小的完全量子力学描述。因此玻尔半径常被用于原子物理学。（见原子单位）

要注意的是玻尔半径并没有包括约化质量的效应，所以在其他包括了约化质量的模型中，并不能准确地等于氢原子电子的轨道半径。这是为了方便而设的：上述方程定义的玻尔半径适用于氢原子以外的其他原子，而它们的约化质量修正值都不同。如果玻尔半径包括了氢原子的约化质量，就有需要加入一个复杂的修正值来使方程适用于其他原子。

电子的玻尔半径是一组三个互相关联的长度单位中的一个，其他两个是电子的康普顿波长${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_e}$及经典电子半径${\displaystyle r_e}$。玻尔半径是由电子质量${\displaystyle m_e}$，约化普朗克常数${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$及电子电荷${\displaystyle e}$所得出的。这三个长度单位中的任一个都能用其余两个及精细结构常数${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$表示。

包括了约化质量效应的玻尔半径能由下列方程求出：

其中

在上述方程中，约化质量所产生的效应由增加的康普顿波长表示，即电子及质子的康普顿波长之和。