高欧拉商数

✍ dations ◷ 2025-11-28 11:59:30 #整数数列

高欧拉商数（highly totient number）是有以下性质的正整数：使方程式φ() = 有个解，其中φ是欧拉函数，为正整数，而且若用其他较小的整数代入时，解的个数都会小于。

例如方程式φ() = ，在=1,2,3,4,5,6,7,8时，分别有2,3,0,4,0,4,0,5个解（在k为大于1的奇数时，φ() = 的解不存在），φ() = 8有5个解，若代入小于8的数值，解都少于5个，因此8是高欧拉商数。

头几个高欧拉商数是：

1, 2, 4, 8, 12, 24, 48, 72, 144, 240, 432, 480, 576, 720, 1152, 1440 （OEIS中的数列A097942）.

分别使上述方程有1, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 17, 21, 31, 34, 37, 38, 49, 54及72个解。若将使φ() = 分别恰有0个解、1个解、2个解……的最小值组成一个数列，则高欧拉商数会是此数列的一个子集。例如8为高欧拉商数，φ() = 8有5个解，表示任何小于8的整数都无法使φ() = 有5个解，因此8是使φ() = 有5个解的最小值。

高欧拉商数的概念有点类似高合成数；1既是高合成数中唯一的奇数，也是高欧拉商数中唯一的奇数（其实1是欧拉函数值域中唯一的奇数）。而且高欧拉商数和高合成数都有无限多个，不过随着数字的增加，要找到高欧拉商数也就越来困难，因为欧拉商数和质因数分解有关，数字越大，就越难进行质因数分解。

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