Lp空間

在数学中，空间是由p次可积函数组成的空间；对应的ℓp空间是由次可和序列组成的空间。它们有时叫做勒贝格空间。

在泛函分析和拓扑向量空间中，他们构成了巴拿赫空间一类重要的例子。空间在工程学领域的有限元分析中有应用。

泛函分析中，常常会在某类函数的集合上架设拓扑结构乃至更复杂的结构，以便使用拓扑乃至分析学的知识来讨论这些集合的属性。最常见的附加结构是赋范向量空间。将函数集合作为装备了范数向量空间来看待，有助于理解函数类的关系和性质。范数是欧几里德空间中长度概念的推广。在平面几何或立体几何中，长度以及距离是最基本的概念之一。对象的形状、位置、大小等性质或关系都是建立在长度和距离的定义上。最直观的长度概念是由平直物理空间中抽象而来，满足勾股定理。例如说在平面上，原点到点${\displaystyle P=(x,y)}$维欧几里德空间${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ ≥ 1定义范数：

这个范数称为${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$-范数。 = 2的时候，就是常见的欧几里德范数。 = 1的时候，是所谓的曼哈顿距离。当趋于无穷大的时候，-范数趋于一个“极限”范数，称为一致范数（也记作∞-范数），定义为：

对不同的来说，等长度点的集合是不一样的。比如右图列出了三种不同范数下单位圆（从原点出发，“长度”等于1的点的集合）形状。

有限维空间中的-范数可以如${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$-范数的定义拓展到其上。这个定义一般适用于由数列或序列构成的空间，称为${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^p}$-范数：

然而，上式中右侧的级数不总是收敛的（有可能其级数和是无穷大）。所以${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^p}$增大，${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^p}$ < ，那么${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^p}$, , )以及大于等于1的实数，考虑所有从到域${\displaystyle \mathbb{K}}$次幂在可积的函数，也就是集合：

集合中的函数可以进行加法和数乘：

从闵可夫斯基不等式可知，两个次可积函数的和，也是一个次可积函数。另外，容易证明${\displaystyle \Vert <!--\; \Vert \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p=|\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}|\Vert <!--\; \Vert \; -->f{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p}$意义下）。所以

而${\displaystyle N}$上函数关于测度的空间。${\displaystyle \Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_p}$-范数。

需要注意的是，空间中的元素严格来说并不是具体的函数，而是一族函数构成的等价类。而当需要将空间元素当作函数来计算的时候，参与计算的实际是从这一族函数中抽取的一个代表函数。

与序列空间一样，在函数空间上也可以定义一致范数。定义的方法和范数一样，首先定义：

${\displaystyle \Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$-范数之间存在以下关系：

可以证明，空间是完备的空间，也即是说是一个巴拿赫空间（完备赋范向量空间）。空间的完备性通常被称为里兹－费舍尔定理。具体的证明可以借助测度上的勒贝格积分的相关收敛定理来完成。

空间都是巴拿赫空间，但只有当 = 2的时候，2空间是希尔伯特空间。也就是说，可以为2空间中的元素定义内积。具体形式是：

其中的${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{g(x)}}$2空间在傅立叶级数和量子力学以及其他领域有着重要的运用。

${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}^p}$空间的特例。只要取空间中的${\displaystyle S=\mathbb{N}}$，设是满足${\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$(, )的对偶空间(, )*与(, )同构。这个关系可以通过一个自然的同构映射展现：

赫尔德不等式保证了其中的泛函${\displaystyle {\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_p(f)}$(, )*中的任一线性泛函对偶空间都能表示成某个${\displaystyle {\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_p(g)}$(, )的对偶空间“是”(, )。

以上性质说明，当大于1的时候，(, )是一个自反空间：(, )的二次对偶空间（对偶空间的对偶空间）“是”它自己（在同构的意义下）。具体来说，从${\displaystyle {\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_p}$是从(, )映射到其二次对偶空间的赋值嵌入映射：

从而

作为两个等距同构的复合映射，也是等距同构。这说明(, )和(, )**也是同构关系。

如果测度是σ-有限测度，那么(, )*和(, )也是等距同构。可以证明，

是(, )到(, )*上的一个同构。

(, )则更为复杂。(, )*可以被刻画为所有关于测度绝对连续的有界带号有限可加测度的集合。如果承认选择公理，那么一般来说，(, )*这个集合要比(, )“大得多”。只有对某些简单的测度，(, )*会和(, )同构。

给定两个实数：1 ≤ < ≤ ∞，当比较(, )和(, )的时候会发现，前者中包含一些局部行为更加不规则的函数，而后者中则包含了“尾巴更粗”的函数。举例来说，${\displaystyle L^1(\mathbb{R})}$在中的测度有限，以及1 ≤ < ≤ ∞。那么由赫尔德不等式有如下限制：

这说明空间(, )可以被连续地嵌入到(, )里面。换句话说，(, )到(, )上的恒等映射${\displaystyle I_{p,q}}$ < ∞，则空间(, )中的元素可以用测度空间 (, , ) 上的简单可积函数逼近。给定测度空间(, , )，其上的一个简单可积函数指的是形同：

的函数。其中的是实数或复数系数， ∈  是测度有限的可测集合。由勒贝格积分的构造方法可知，简单可积函数的集合在(, )中稠密。

如果本身也是测度空间，而是上的博雷尔测度，那么可以通过乌雷松引理证明，所有可测而且测度有限的子集对应的指示函数都可以通过连续函数逼近。所以所有的简单可积函数可以用连续函数逼近。因而可以证明，(, )中的连续函数构成的集合在(, )中稠密:84。对于更具体的空间，可以证明更加强的结果。比如说当是维欧几里德空间，而是上的正则博雷尔测度的时候，可以证明，所有紧支撑的光滑函数的集合在(, )中稠密。