模棱函数

模棱函数是一套用于讯号分析与讯号设计的数学方法，为菲力浦·伍德沃德（Philip Woodward）在1953年所提出。其原初目的是用来分析雷达回波讯号受时间延迟和多普勒位移的影响，但在随后的发展中，也广泛的被使用在时频分析、讯号处理等领域上。

函数${\displaystyle s(t)}$的模棱函数${\displaystyle A(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})}$定义为：

其中，${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$代表着和原始讯号的时间差分值，而${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$则代表和原始讯号的频率差分值，而这样的二维空间称为模棱域（Ambiguity Domain）。以雷达应用来说，${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$反映了送出去的讯号和回波讯号的时间延迟（Time Delay），${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$则反映了两讯号间的多普勒位移（Dopple Frequency Shift）。星号${\displaystyle \ast <!--\; \ast \; -->}$代表对函数取其共轭复数。上式为自时域定义之模棱函数。我们也可以透过函数${\displaystyle s(t)}$的傅立叶转换对${\displaystyle S(f)}$从频域定义之：

稍经修改，模棱函数也可以用对称的形式定义之，称为对称模棱函数（Symmetric Ambiguity Function）：

模棱函数有下列几种基本性质：

模棱函数最大值永远发生在模棱域的原点${\displaystyle (0,0)}$：

模棱函数为一对称函数：

当我们设定频率差值${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$为0时，模棱函数将退化为讯号${\displaystyle s(t)}$的自相关函数：

若方波定义为：:,则其模棱函数${\displaystyle A_{rect}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})}$计算如下：
${\displaystyle A_{rect}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}rect(t+\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2})rec{t}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(t-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2})e^{j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}t}dt}$

对一个高斯讯号${\displaystyle g(t)=e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{t}^2}}$而言，其模棱函数为：
${\displaystyle A_G(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->})=\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{\frac{-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2+{\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}^2)}{2}}}$

模棱函数是伍德沃德依据维格纳分布改良而来。两者之间详细的关系请参阅模糊函数与韦格纳分布的关系。

模棱函数一开始即是由雷达领域研究学者菲利浦·伍德沃德由维格纳分布发展而来，因此其原初应用多为雷达相关，是该领域相当重要的基础理论。随着时序的演进和时频分析方法的兴起，越来越多的时频分析方法使用了模棱函数的观念。例如，西摩·斯坦于1981年提到，模棱函数可以用来估算具有相同成分之两个讯号，因受外加噪声干扰而造成之频率、时间位移；而时频分析工具科恩克莱斯分布则是运用一函数之模棱函数并搭配适当的遮罩函数，做为分析该函数时频特性的基础。