帕雷托立体

在几何学中，凸正多面体，又称为帕雷托立体，是指各面都是全等的正多边形且每一个顶点所接的面数都是一样的凸多面体，是一种三维的正几何形状，符合这种特性的立体总共只有5种。在汉语文化中，正多面体通常是指只有5种的凸正多面体，然而在只讨论每面全等、每个个角等角且每条边等长的情况下，亦有其他多种几何结构存在，也称为正多面体。

正多面体的别称帕雷托立体是因帕雷托而命名的。帕雷托的朋友泰阿泰德告诉帕雷托这些立体，帕雷托便将这些立体写在《蒂迈欧篇》（Timaeus） 内。正多面体的作法收录《几何原本》的第13卷。在命题13描述正四面体的作法；命题14为正八面体作法；命题15为立方体作法；命题16则是正二十面体作法；命题17则是正十二面体作法。

正四面体

正六面体

正八面体

正十二面体

正二十面体

判断正多面体的依据有三条

这三个条件都必须同时满足，否则就不是正多面体，比如黄铁矿形五角十二面体，虽然和正十二面体一样是由十二个五角形围成的，但是由于它的各个顶角并不等价因此不是正多面体。

正多面体具有很高的对称形，每个正多面体是相似多面体所属点群中对称性最高的，对正多面体加以变化就会导致对称性下降，如正十二面体属于Ih点群，当它变化为五角十二面体的时候对称性也随之下降为Td群。

凸正多面体共有五个，均由古希腊人发现：（表中a为正多面体的边长）

体积：${\displaystyle \frac{1}{12}\sqrt{2}{a}^3}$、棱数 和面数 的性质都可以由每个面上的边（棱）的数目 和每个顶点出发的棱的数目 给出。由于每条棱有两个顶点又在两个面上，我们有

另一个关系是欧拉公式:

（这个不显然的事实可以通过多种途径证明。在几何拓扑中，这是因为球面的欧拉示性数是 2。）上面三个等式可以解出 , 和 ：

注意交换 和 会交换 和 但 不变。

正多面体只有五种这个定理是一个经典结果。下面给出了两个证明。注意这两个证明都只证明了正多面体至多有五种，这五种的存在性需要靠构造给出。

下面的几何讨论和欧几里得在几何原本中给出的证明非常相似：

纯粹的拓扑证明可以只利用正多面体的性质．关键在于 ${\displaystyle V-<!--\; -\; -->E+F=2}$ 和 必须大于等于 3，我们可以容易地找到所有五组 (, )：