驻点

在数学，特别在微积分，函数在一点处的一阶导数为零，该点即函数的驻点（Stationary Point）或稳定点，也就是说若 p {displaystyle p} 为驻点则在这一点，函数的输出值停止增加或减少。对于一维函数的图像，驻点的切线平行于x轴即水平切线。对于二维函数的图像，驻点的切平面平行于xy平面。值得注意的是，一个函数的驻点不一定是这个函数的极值点（考虑到这一点左右一阶导数符号不改变的情况）；反过来，在某设定区域内，一个函数的极值点也不一定是这个函数的驻点（考虑到边界条件），例如函数 f ( x ) = x 3 {displaystyle f(x)=x^{3}} 。对于可微函数，极值点一定是驻点。在分析力学里，虚功原理阐明，对于一个静态平衡(static equilibrium)系统，所有外力的作用，经过虚位移，所作的虚功，总合等于零，以方程表达，其中， δ W {displaystyle delta W,} 是虚功， F i {displaystyle mathbf {F} _{i},} 是第 i {displaystyle i,} 个外力， r i {displaystyle mathbf {r} _{i},} 是对应于 F i {displaystyle mathbf {F} _{i},} 的虚位移。转换为以广义力 F i {displaystyle F_{i},} 和广义坐标 q i {displaystyle q_{i},} 表达，假设这系统是保守系统，则每一个广义力都是一个标量的广义位势函数 V ( q 1 , q 2 , … , q n ) {displaystyle V(q_{1},q_{2},dots ,q_{n}),} 的对于其对应的广义坐标的导数：虚功与广义位势的关系为所以，一个静态平衡系统的位势 V {displaystyle V,} 乃是个局域平稳值。注意到这系统只处于平稳状态。假设，要求这这系统处于稳定状态，则位势 V {displaystyle V,} 必须是个局域极小值。在变分法里，欧拉-拉格朗日方程是从其对应的泛函的平稳点推导出的一种微分方程。设定若 y ( x ) ∈ ( C 1 [ a ,   b ] ) N {displaystyle mathbf {y} (x)in (C^{1})^{N},!} 使泛函 J ( y ) = ∫ a b f ( y ,   y ˙ ,   x ) d x {displaystyle J(mathbf {y} )=int _{a}^{b}f(mathbf {y} , {dot {mathbf {y} }}, x)dx,!} 取得局部平稳值，则在区间 ( a ,   b ) {displaystyle (a, b),!} 内对于所有的 i = 1 ,   2 ,   … ,   N {displaystyle i=1, 2, ldots , N,!} ，欧拉-拉格朗日方程成立：