螺旋函数

螺旋函数(Swirl function)是一个以三角函数定义的特殊函数：

${\displaystyle S(k,n,r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})=sin(k\ast <!--\; \ast \; -->cos(r)-<!--\; -\; -->n\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$

其中k,n均为整数。k与螺旋叶的长度与形状有关，n为螺旋的叶片数。

${\displaystyle S(k,n,r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{n})=S(k,n,r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$

${\displaystyle S(k,n,r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\approx <!--\; \approx \; -->sin(k-<!--\; -\; -->n\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->cos(k-<!--\; -\; -->n\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->k\ast <!--\; \ast \; -->r^2+(-<!--\; -\; -->(1/8)\ast <!--\; \ast \; -->sin(k-<!--\; -\; -->n\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->k^2+(1/24)\ast <!--\; \ast \; -->cos(k-<!--\; -\; -->n\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->k)\ast <!--\; \ast \; -->r^4+((1/48)\ast <!--\; \ast \; -->sin(k-<!--\; -\; -->n\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->k^2+cos(k-<!--\; -\; -->n\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->(1/720)\ast <!--\; \ast \; -->k+(1/48)\ast <!--\; \ast \; -->k^3))\ast <!--\; \ast \; -->r^6+O(r^8)}$

${\displaystyle S(k,n,r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\approx <!--\; \approx \; -->sin(k\ast <!--\; \ast \; -->cos(r))-<!--\; -\; -->cos(k\ast <!--\; \ast \; -->cos(r))\ast <!--\; \ast \; -->n\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sin(k\ast <!--\; \ast \; -->cos(r))\ast <!--\; \ast \; -->n^2\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2+(1/6)\ast <!--\; \ast \; -->cos(k\ast <!--\; \ast \; -->cos(r))\ast <!--\; \ast \; -->n^3\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^3+(1/24)\ast <!--\; \ast \; -->sin(k\ast <!--\; \ast \; -->cos(r))\ast <!--\; \ast \; -->n^4\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^4-<!--\; -\; -->(1/120)\ast <!--\; \ast \; -->cos(k\ast <!--\; \ast \; -->cos(r))\ast <!--\; \ast \; -->n^5\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^5-<!--\; -\; -->(1/720)\ast <!--\; \ast \; -->sin(k\ast <!--\; \ast \; -->cos(r))\ast <!--\; \ast \; -->n^6\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^6+(1/5040)\ast <!--\; \ast \; -->cos(k\ast <!--\; \ast \; -->cos(r))\ast <!--\; \ast \; -->n^7\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^7+(1/40320)\ast <!--\; \ast \; -->sin(k\ast <!--\; \ast \; -->cos(r))\ast <!--\; \ast \; -->n^8\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^8+O({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^9)}$

7,-2

7,2

7,-4

7,4

7,-6

7,6

7,-8

7,8

7,-10

7,10

7,-12

7,12

0,4

1,4

2,4

7,4

-5,4

-9,4

30,4