自由积

✍ dations ◷ 2025-10-25 15:43:44 #群论

在数学的群论中,自由积(英语:free product,法语:produit libre)是从两个以上的群构造出一个群的一种操作。两个群和的自由积,是一个新的群 ∗ 。这个群包含和为子群,由和的元素生成,并且是有以上性质的群之中“最一般”的。自由积一定是无限群,除非和其一是平凡群。自由积的构造方法和自由群(由给定的生成元集合所能构造出的最一般的群)相似。

自由积是群范畴中的余积。

若和是群,以和形成的字是以下形式的乘积:

其中是或的元。这种字可以用以下的操作简化:

每个简约字都是的元素和的元素交替的积,例如:

自由积 ∗ 的元素是以和形成的简约字,其上的运算是将两字接合后简化。

例如若是无穷循环群<>,是无穷循环群<>,则 ∗ 的元素是的幂和的幂交替的积。此时 ∗ 同构于以和生成的自由群。

( G i ) i I {\displaystyle (G_{i})_{i\in I}} 的一个展示(是生成元的集合,是关系元的集合),又设

是的一个展示。那么

即是 ∗ 是的生成元和的生成元所生成,而其关系是的关系元和的关系元所组成。(两者都是不交并。)

设是群, ( G i ) i I {\displaystyle (G_{i})_{i\in I}} 和是群,又设是另一个群,并有群同态

对中所有元素,在自由积 ∗ 中加入关系

便得出其共合积。换言之,在 ∗ 中取最小的正规子群,使得上式左方的元素都包含在内,则商群

就是共合积 G F H {\displaystyle G*_{F}H}

共合积可视为在群范畴中图表 G F H {\displaystyle G\leftarrow F\rightarrow H} 的推出。

塞弗特-范坎彭定理指,两个路径连通的拓扑空间沿着一个路径连通子空间接合的并,其基本群是这两个拓扑空间的基本群的共合积。

共合积及与之相近的HNN扩张,是讨论在树上作用的群的Bass–Serre理论的基本组件。

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