自由积

在数学的群论中，自由积（英语：free product，法语：produit libre）是从两个以上的群构造出一个群的一种操作。两个群和的自由积，是一个新的群 ∗ 。这个群包含和为子群，由和的元素生成，并且是有以上性质的群之中“最一般”的。自由积一定是无限群，除非和其一是平凡群。自由积的构造方法和自由群（由给定的生成元集合所能构造出的最一般的群）相似。

自由积是群范畴中的余积。

若和是群，以和形成的字是以下形式的乘积：

其中是或的元。这种字可以用以下的操作简化：

每个简约字都是的元素和的元素交替的积，例如：

自由积 ∗ 的元素是以和形成的简约字，其上的运算是将两字接合后简化。

例如若是无穷循环群<>，是无穷循环群<>，则 ∗ 的元素是的幂和的幂交替的积。此时 ∗ 同构于以和生成的自由群。

设${\displaystyle (G_i{)}_{i\in <!--\; \in \; -->I}}$的一个展示（是生成元的集合，是关系元的集合），又设

是的一个展示。那么

即是 ∗ 是的生成元和的生成元所生成，而其关系是的关系元和的关系元所组成。（两者都是不交并。）

设是群，${\displaystyle (G_i{)}_{i\in <!--\; \in \; -->I}}$和是群，又设是另一个群，并有群同态

对中所有元素，在自由积 ∗ 中加入关系

便得出其共合积。换言之，在 ∗ 中取最小的正规子群，使得上式左方的元素都包含在内，则商群

就是共合积${\displaystyle G{\ast <!--\; \ast \; -->}_{F}H}$。

共合积可视为在群范畴中图表${\displaystyle G\leftarrow <!--\; \leftarrow \; -->F\to <!--\; \to \; -->H}$的推出。

塞弗特－范坎彭定理指，两个路径连通的拓扑空间沿着一个路径连通子空间接合的并，其基本群是这两个拓扑空间的基本群的共合积。

共合积及与之相近的HNN扩张，是讨论在树上作用的群的Bass–Serre理论的基本组件。