相干性

在物理学里，相干性（coherence）指的是，为了产生显著的干涉现象，波所需具备的性质。更广义地说，相干性描述波与自己、波与其它波之间对于某种内秉物理量的相关性质。

当两个波彼此相互干涉时，因为相位的差异，会造成相长干涉或相消干涉。假若两个正弦波的相位差为常数，则这两个波的频率必定相同，称这两个波“完全相干”。两个“完全不相干”的波，例如白炽灯或太阳所发射出的光波，由于产生的干涉图样不稳定，无法被明显地观察到。在这两种极端之间，存在着“部分相干”的波。

相干性又大致分类为时间相干性与空间相干性。时间相干性与波的带宽有关；而空间相干性则与波源的有限尺寸有关。

波与波之间的的相干性可以用相干度（英语：degree of coherence）来量度。干涉可见度（英语：interference visibility）是波与波之间的干涉图样的辐照度对比，相干度可以从干涉可见度计算出来。

一般而言，互不相关的波源无法形成可观察到的干涉图样。例如白炽灯或太阳是由很多互不相关、持续生成的微小发光点所组成，每一个发光点只会作用一段时间${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t\approx <!--\; \approx \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->8}-<!--\; -\; -->{10}^{-<!--\; -\; -->9}sec}$，发射出一个有限长度的波列，之后，再也不会发光，但在其它位置，又会出现新的发光点。为了要能拍摄到这类光源所产生的由两个波列叠加形成的干涉图样，摄影仪器的曝光时间必须要小于${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t}$。在旧时，无法制造出这么高阶的摄影仪器，因此从这类光源很难拍摄到干涉图样。但是，通过适当处理，仍旧可以观察到这些光源的干涉图样。:457, 460

为了要观察到这些互不相关的波源所形成的干涉图样，必须从这些波源制造出相干性较高的波。有两种方法可以达成这目标：

自从激光、激微波的发明以后，物理学者不再为寻找高相干性的光源这问题而烦恼，激光所制造出来的波列通常能维持${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}t\approx <!--\; \approx \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->3}sec}$之久。这给予足够的曝光时间来拍摄干涉图样。

以前，只有在学习光学的杨式双缝实验时，才会接触到相干性这术语。现今许多涉及波动的领域，像声学、电子工程、量子力学等等，都会使用到这术语。许多科技的运作都倚赖相干性质为基础。例如，全息摄影术、音波相位阵列、光学相干断层扫描、天文光学干涉仪、与射电望远镜、等等。

两个波的相干性，称为“互相干性”，来自于它们彼此之间的相关程度，也就是说，它们彼此之间的相似程度。互相关函数可以量度互相干性。:564:545-550互相关函数可以量度从一个波预测另一个波的能力。举例而言，设想完全同步相关的两个波。在任意时间，假若一个波发生任何变化，则另一个波也会做出同样的变化；让这两个波互相干涉，则在任意时间，它们都会展示出完全相长干涉，它们具有完全相干性。互相关函数可以用来支持模式识别系统，例如，指纹识别。

如稍后所述，第二个波不必是另外一个实体，它可能是在不同时间或不同位置的第一个波。这案例所涉及的相关称为“自相干性”；对于这案例，可以用自相关函数来量度自相干性。自相关函数可以用来从带有随机噪声背景的信号中提取出信息信号。:545-550

假设在点S₁、点S₂的波扰分别为${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{E}}_1(t)}$、${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{E}}_2(t)}$（波浪号代表复数），则其互相关函数${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}}_{12}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$为:566-571:115-118

其中，单书名号表示取时间平均值，${\displaystyle T}$是平均的时间间隔，${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$是相对时移。

互相关函数又称为“互相干函数”。理论而言，必需取${\displaystyle T}$趋向于无穷大的极限；然而，实际而言，只要平均的时间间隔比相干时间（大约是有限长度的波列通过某固定点的有限时间）长久很多就行了。

从互相关函数的定义式，可以衍生出自相关函数，又称为“自相干函数”。波${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{E}}_1(t)}$与相对时移${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$的自己波，两者之间的自相干函数为

归一化的互相干函数${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}_{12}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$又称为两个波的“复相干度”，以方程表示为

从柯西-施瓦茨不等式可以推导出${\displaystyle |{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}_{12}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})|\le <!--\; \le \; -->1}$。

绝对值${\displaystyle |{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}_{12}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})|}$就是“相干度”。当${\displaystyle |{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}_{12}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})|=1}$时，波${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{E}}_1}$与波${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{E}}_2}$完全相干；当${\displaystyle |{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}_{12}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})|=0}$时，两个波完全不相干；当时，两个波部分相干。

“干涉可见度”量度干涉图样的明暗条纹的清晰程度，以方程定义，

其中，${\displaystyle I_{max}}$、${\displaystyle I_{min}}$分别为干涉图样的最大辐照度与最小幅照度。

干涉可见度的范围在0到1之间。假设两个波的振幅相等，则干涉可见度等于相干度：

下述这些波的共同之处是，它们的物理行为可以用波动方程或推广的波动方程来描述：

这些种类的波的物理行为，大多数可以直接测量获得。因此，波与波之间的互相干函数可以很简单地求得。但是，在光学里，不能直接的测量电磁场，因为电磁场的震荡太快，比任何探测器的时间分辨率还要快。可行之道是测量光波的辐照度。

大多数在这条目提到的涉及相干性的概念，都是先在光学领域发展成功，然后再适应于其它领域。因此，许多相干性测量标准都是采用间接地测量，甚至在可以直接测量的领域，都是这样做。

一个波${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{E}}_1(t)}$与延迟了时间${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$的自己波，两者之间的自相干函数${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}}_{11}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$，可以用来量度时间相干性。对应的复相干度为${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}_{11}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$，又称为“复时间相干度”。时间相干性可以表达波源的单色性质，可以量度一个波在延迟某时间后干涉自己的能力，因此又称为“纵向相干性”。经过一段延迟时间${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$后，假若一个波的相位或波幅开始发生足够显著的变化（因此自相干函数开始显著地减小），则定义此延迟时间为“相干时间”${\displaystyle {\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_c}$。有限长度的波列通过某固定点的有限时间大约是相干时间。当${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=0}$时，一个波${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{E}}_1(t)}$与自己的相干度为${\displaystyle |{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}_{11}(0)|=1}$；而当${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_c}$时，相干度${\displaystyle |{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}_{11}|}$会显著地减小，显示在观察屏的干涉图样也会变得模糊不清。“相干长度”${\displaystyle L_c}$定义为，在相干时间${\displaystyle {\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_c}$内，波所能传播的距离，又称为“纵向相干长度”。:560, 571-573

由于周期的倒数是频率，一个波在越短时间内，变的不自相干（${\displaystyle {\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_c}$越小），则波的带宽${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}f}$越大。两个物理量的关系方程为:358-359, 560

用波长${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=c/f}$来表达，

用数学表述，这结果可以从傅里叶变换推导出来。自相干函数的傅里叶变换就是功率谱（英语：power spectrum）（每个频率的辐照度）。:572

试想下述四个关于时间相干性的实例：

白光的带宽大约为3×1014Hz，因此相干时间为3×10-15s，相干长度非常短，大约只有900nm。普通放电灯的带宽也很宽阔，因此相干长度也相当短，大约为几个mm数量级。国际标准Kr86低气压放电灯的相干长度比较长，大约为0.3m。:316

激光通常是最单色的光源。高度的单色性意味着相干长度很长。例如，单模氦氖激光（英语：helium-neon laser）能够发射相干长度接近400m的光。特别稳定性氦氖激光的相干长度可以达到1.5×107m。:316

全息摄影需要用到长相干时间的光。:635由于具有脉冲高能量与较长的相干时间这两种优点，红宝石激光时常被应用于全息摄影。:549相对比较，光学相干断层扫描使用短相干时间的光。

在光学里，时间相干性可以用干涉仪来测量，例如，迈克耳孙干涉仪或马赫-曾德尔干涉仪。干涉仪先将输入波复制，延后${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$时间，然后将输入波与复制波合并为输出波，再用辐照度探测器来测量经过时间平均后的输出波辐照度，得到的数据，稍加运算，可以求得干涉可见度。这样，可以知道延迟时间为${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$的相干度。对于大多数的天然光源，由于相干时间超短于探测器的时间分辨率，探测器自己就可以完成时间平均工作。

思考图 (3)案例，在相干时间${\displaystyle {\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_c}$内，波的辐照度显著地涨落不定。假设延迟时间为${\displaystyle 2{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_c}$，则一个无穷快的探测器所测量出的辐照度也会显著地涨落不定。对于这案例，可以手工计算辐照度的时间平均值来求得时间相干性。

为了展示出显著的干涉图样，杨氏双缝实验所使用的光源必须具有空间相干性。光学影像系统与天文望远镜的制作必需考虑到光源的空间相干性。

空间相干性与波源的有限尺寸有关。这可以用杨式双缝实验来解释。在典型的杨式双缝实验里，只存在有一个点光源S，其所发射出的单色光，在通过不透明挡板的位于点S₁、点S₂的两条狭缝之后，会在观察屏显示出干涉图样。现在将这实验加以延伸，将点光源S改为绵延有限尺寸${\displaystyle b}$的线光源。从做实验获得的结果，物理学者发觉，假定线光源与挡板之间的距离${\displaystyle R}$足够远，则若要在观察屏的中央轴区域显示出干涉图样，必须先满足以下条件：:42-43

其中，${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$是点S₁、点S₂对于顶点S的夹角。${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$是光波的平均波长。

注意到${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->\mathcal{L}/R}$、${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->b/R}$；其中，${\displaystyle \mathcal{L}}$是两个狭缝之间的距离，${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$是有限尺寸光源对于档板中央轴交点的夹角。所以，必须满足条件:42-43

因此，可以估算这问题的“横向相干长度”为${\displaystyle {\mathcal{L}}_c=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}/\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$。假若两个狭缝之间的距离大于${\displaystyle {\mathcal{L}}_c}$，则干涉图样会消灭殆尽。对于三维案例，可以使用物理量“相干面积”，以方程表示为${\displaystyle {\mathcal{A}}_c={\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2/{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^2}$。

在许多物理系统里，像水波或光波一类的波可以传播于一维或多维的空间。空间相干性量度位于点S₁、点S₂的的两个波扰，经过时间平均后，彼此相互干涉的能力。更精确地说，空间相干性是这两个波扰除去了延迟时间因素之后的互相关函数。假设某波前的波幅为常数，则在其任意两个位置的波扰，彼此之间都具有完全空间相干性。

继续思考杨氏双缝实验，只专注于档板与观察屏之间的状况。假设点S₁、点S₂的两个波扰分别为${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{E}}_1(t)}$、${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{E}}_2(t)}$，则其互相干函数${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}}_{12}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=⟨<!--\; ⟨\; -->{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{E}}_1(t+\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}){\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{E}}_2^{\ast <!--\; \ast \; -->}(t)⟩<!--\; ⟩\; -->}$与点S₁、点S₂的位置和延迟时间${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$有关。由于在观察屏的干涉图样，其中心点Q是中央轴与观察屏的交点，从点S₁、点S₂同时发射的光波，会在同时抵达点Q，延迟时间为

其中，${\displaystyle r_1}$、${\displaystyle r_2}$分别是从S₁、点S₂到点Q的距离，${\displaystyle c}$是光速。

因此，除去了延迟时间因素，互相干函数${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}}_{12}(0)}$可以量度在点S₁、点S₂的两个波扰的空间相干性。复相干度${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}_{12}(0)}$称为在点S₁、点S₂的两个波扰的“复空间相干度”。:572

图5：一个单色平面波，相干长度与相干面积为无穷值。

图6：一个波前不规则的单色波。因为在点X₁与点X₁后面λ整数倍数之处的波幅永远相同，相干长度为无穷值，因为在点X₁与点X₂的波幅永远相同，相干面积也为无穷值。

图7：一个波前不规则的波，相干长度与相干面积为有限值。

图8：一个波前不规则、相干长度与相干面积为有限值的波，入射于具有一条狭缝的档板。入射波穿过狭缝后，衍射出来的波，其空间相干性会增加。经过传播一段距离，在离狭缝较远处，圆形波前的波近似于平面波。相干面积变为无穷值，而相干长度不变。

图9：两个同样的波，在空间里传播。一个波是另外一个波的位移，两个波的相干长度与相干面积分别为无