测地线

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:25:35 #测地线
测地线又称大地线或短程线,数学上可视作直线在弯曲空间中的推广;在有度规定义存在之时,测地线可以定义为空间中两点的局域最短路径。测地线(英语:geodesic)的名字来自对于地球尺寸与形状的大地测量学(英语:geodesy)。在大地线上,各点的主曲率方向均与该点上曲面法线相合。它在圆球面上为大圆弧,在平面上就是直线。在大地测量中,通常用大地线来代替法截线,作为研究和计算椭球面上各种问题。测地线是在一个曲面上,每一点处测地曲率均为零的曲线。曲面上非直线的曲线是测地线的充分必要条件是除了曲率为零的点以外,曲线的主法线重合于曲面的法线。如果两曲面沿一曲线相切,并且此曲线是其中一个曲面的测地线,那么它也是另一个曲面的测地线。过曲面上任一点,给定一个曲面的切方向,则存在唯一一条测地线切于此方向。在适当的小范围内联结任意两点的测地线是最短线,所以测地线又称为短程线。在一个黎曼流形 M {displaystyle M} 上,一条曲线 γ : I → M {displaystyle gamma :Ito M} 若符合常微分方程就称之为测地线。其中 ∇ {displaystyle nabla } 是 M {displaystyle M} 上的列维-奇维塔联络。方程左边为曲线在流形上的加速度向量,所以方程是说测地线是在流形上加速度为零的曲线,也因此测地线必定是等速曲线。以上方程用局部座标表示为其中 Γ μ ν λ {displaystyle Gamma _{mu nu }^{lambda }} 是 M {displaystyle M} 的黎曼度量的克里斯托费尔符号。给定流形上一点 p {displaystyle p} 及点上一个非零的切向量 v ∈ T p M {displaystyle vin T_{p}M} ,因测地线方程是二阶常微分方程,柯西-利普希茨定理指出存在区间 ( − ϵ , ϵ ) {displaystyle (-epsilon ,epsilon )} ,使得方程在此区间上存在唯一解满足初值条件 γ ( 0 ) = p {displaystyle gamma (0)=p} , γ ˙ ( 0 ) = v {displaystyle {dot {gamma }}(0)=v} 。但因为方程是非线性的,故未必在实数域 R {displaystyle mathbb {R} } 上存在解。从上述方程解的唯一性,可知若两条测地线经过同一点,且在此点上有相同的切向量,则这两条测地线是同一条测地线中的两部分。设 γ : [ a , b ] → M {displaystyle gamma :to M} 是一条测地线, − ∞ < a < 0 < b < ∞ {displaystyle -infty <a<0<b<infty } 。如果对起点 γ ( 0 ) {displaystyle gamma (0)} 及起点的切向量 γ ˙ ( 0 ) {displaystyle {dot {gamma }}(0)} 改变得足够细微,则存在新的测地线符合新的初值条件,且仍然定义在 [ a , b ] {displaystyle } 上。这个结果用严格语言叙述为:从这结果可以得出,如果 γ {displaystyle gamma } 是定义在有界开区间 I {displaystyle I} 上的测地线,对它的起点和此点上的切向量改变得足够细微的话,则存在一条新的测地线满足新的初值条件,并且定义在接近整条 I {displaystyle I} 上。如果对于任意初始条件 γ ( 0 ) = p {displaystyle gamma (0)=p} , γ ˙ ( 0 ) = v {displaystyle {dot {gamma }}(0)=v} 都存在一条定义在整条实数线上的测地线 γ : R → M {displaystyle gamma :mathbb {R} to M} ,则称 M {displaystyle M} 是测地完备的。霍普夫-里诺定理指出,若 M {displaystyle M} 是一个完备的度量空间,则 M {displaystyle M} 是测地完备的。( M {displaystyle M} 上两点间的度量,是连接此两点的所有曲线的长度的最大下界。)在黎曼流形 M {displaystyle M} 上连接两点之间的等速曲线,若其长度等于两点间的距离,即这曲线是两点间最短的曲线,那么这曲线必定是测地线。然而,连接两点间的测地线未必最短。比如在单位球面上,一条长度大于 π {displaystyle pi } 的测地线,不是连接这条线的两端点间的最短曲线。因为球面上的测地线都是大圆的弧,若测地线长度大于 π {displaystyle pi } ,那么测地线所在大圆上的另一条弧,其长度会小于 π {displaystyle pi } ,是连接这两点的最短测地线。连接两点间最短测地线,也未必唯一。比如单位球面上两个对径点(即球面和一条直径的两个交点)之间,有无数条最短测地线相连。然而,流形上任何一点都存在一个邻域,使得该点和邻域上其他点之间,都有唯一的最短测地线相连(不计测地线的速度)。因此流形上任何测地线都是局部最短的。对流形上一点 p {displaystyle p} ,一条从 p {displaystyle p} 出发的单位速的测地线 γ ( t ) {displaystyle gamma (t)} ,考虑所有的 t ≥ 0 {displaystyle tgeq 0} 使得 d ( p , γ ( t ) ) = t {displaystyle d(p,gamma (t))=t} ,即是说 γ ( [ 0 , t ] ) {displaystyle gamma ()} 是一条最短测地线。这集合可以是 [ 0 , t 0 ] {displaystyle } 或 [ 0 , ∞ ) {displaystyle [0,infty )} 。若是前者,称 γ ( t 0 ) {displaystyle gamma (t_{0})} 是 p {displaystyle p} 沿着 γ {displaystyle gamma } 的割点,那么对所有 t < t 0 {displaystyle t<t_{0}} , γ ( [ 0 , t ] ) {displaystyle gamma ()} 是从 p {displaystyle p} 点到 γ ( t ) {displaystyle gamma (t)} 的唯一最短测地线;若是后者,则对所有 t ≥ 0 {displaystyle tgeq 0} , γ ( [ 0 , t ] ) {displaystyle gamma ()} 都是 p {displaystyle p} 点到 γ ( t ) {displaystyle gamma (t)} 的唯一最短测地线。 p {displaystyle p} 沿着全部从 p {displaystyle p} 出发的测地线的割点组成的集合,称为 p {displaystyle p} 的割迹 C p ( M ) {displaystyle C_{p}(M)} 。一般的度量空间 X {displaystyle X} 中,测地线 γ {displaystyle gamma } 是从区间 I ⊂ R {displaystyle Isubset mathbb {R} } 的映射,使得对任何 t 0 ∈ I {displaystyle t_{0}in I} ,都存在区间 J ⊂ I {displaystyle Jsubset I} ,使得 J {displaystyle J} 包含 t 0 {displaystyle t_{0}} 在 I {displaystyle I} 中一个开邻域,并且对任何 t 1 , t 2 ∈ J {displaystyle t_{1},t_{2}in J} 有换言之, γ ( J ) {displaystyle gamma (J)} 是连接其上任何两点的一条最短路线。如果一个度量空间任何两点都有测地线相连,称为测地度量空间。度量空间上的测地线的性质,和微分几何有些不同:两条测地线即使有部分线段重合,却未必属于同一条测地线。例如在 R 2 {displaystyle mathbb {R} ^{2}} 上定义度量(曼哈顿距离)设 γ 1 {displaystyle gamma _{1}} 是从(0,0)到(1,0)再到(1,1)的两条线段所组成,而 γ 2 {displaystyle gamma _{2}} 是从(0,0)到(2,0)的线段。这两条都是测地线,且在(0,0)到(1,0)一段重合,但明显不属同一条测地线,因为这两条线过了点(1,0)之后就分开。一个测地度量空间中,在一点上未必存在一个邻域,使得该点其邻域其他点都有唯一的测地线。在上例的度量空间中,两点间如果两个座标都不同,则有无限多条测地线连接两点。例如从(0,0)到(2,1),以下都是连接这两点的最短测地线:任取一数 t 0 ∈ [ 0 , 2 ] {displaystyle t_{0}in } ,就是先向右走到 ( t 0 , 0 ) {displaystyle (t_{0},0)} ,再向上走到 ( t 0 , 1 ) {displaystyle (t_{0},1)} ,再向右走到(2,1)。在任何一点的任何邻域中,和该点两个座标都不同的点有无数个,所以从该点到这些点之间,最短测地线都不是唯一。

相关

  • 心脏超音波超声心动图,是一种心脏超声波检查,它使用标准的超声波技术显示心脏的二维图片。现在最新的超声诊断系统采用三维及时成像。耗时大约15-20分钟,甚至更长。除了产生心血管系统的
  • 土壤科学国际联盟土壤科学国际联盟(IUSS)成立于1924年,是国际科学理事会一个科学联盟的成员(ICSU)。该集团拥有86个会员国家和地区协会,与多个国家约55,000科学家。目的是促进土壤科学及其应用,促进
  • 古遗传学古遗传学,是科林·伦弗鲁提出的一个术语,指的是利用分子技术中的应用人类基因技术来研究人类的过去。 这可以包括:这个主题有研究人类血液的起源,而这个经典的遗传标记实现了有
  • ρ因子ρ因子(ρ factor)是指在细胞遗传学当中,是一种参与转录终止的原核蛋白。ρ因子与转录终止子暂停位点结合,后者是缺乏明显二级结构的富含C/贫含G的序列的开放阅读框后的单链RNA(
  • 停用词在信息检索中,为节省存储空间和提高搜索效率,在自然语言处理数据(或文本)之前或之后会自动过滤掉某些字或词,这些字或词即被称为Stop Words(停用词)。不要把停用词与安全口令混淆
  • 苏联共青团全联盟列宁主义青年共产主义联盟(俄语:Всесоюзный Ленинский Коммунистический Союз Молодёжи (ВЛКСМ)  聆听 帮助·
  • 纽甜纽甜(Neotame)是一种人工甜味剂,分子式为C20H30N2O5。纽甜是世界上最甜的合成甜味剂,甜度是一般蔗糖的7000~13000倍,也是口味最接近蔗糖的甜味剂。纽甜在干粉状态下具有极佳的稳定
  • span class=nowrapIClsub3/sub/span三氯化碘(或六氯化二碘)是一种氯和碘组成的互卤化物。是较早发现的互卤化物之一,早在1814年即与一氯化碘一起被戴维发现。黄棕色针状易潮解结晶,在室温下能挥发。有刺鼻气味。具
  • 正式成立王政复古是日本江户时代末期,1868年1月3日(庆应3年12月9日),宣告江户幕府废止、明治新政府成立的政变。在此之前,王政复古也是长州、萨摩等藩讨幕派的理念。江户时代末期,黑船来航
  • 螽斯螽斯可能有如下含义: