重要性采样

重要性采样（英语：importance sampling）是统计学中估计某一分布性质时使用的一种方法。该方法从与原分布不同的另一个分布中采样，而对原先分布的性质进行估计。重要性采样与计算物理学中的伞形采样（英语：Umbrella sampling）相关。

假设${\displaystyle X:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$的期望值，记作E。如果根据随机抽取样本${\displaystyle x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n}$的方差，

而重要性采样的基本思想则是从另一个分布中抽取样本，用以降低E估计的方差。进行重要性采样时，首先选择一个随机变量${\displaystyle L\ge <!--\; \ge \; -->0}$，并满足上几乎处处${\displaystyle L(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\ne <!--\; \ne \; -->0}$上抽样，通过变量估计E。如果在Ω上不变号时，最优的为${\displaystyle L^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\frac{X}{\mathbf{E}}\ge <!--\; \ge \; -->0}$即为要估计的E，只需一个样本便可得到该值。然而由于与要估计的E有关，在实际操作中我们无法取到理论上最优的。不过，我们仍可以采用如下方式逼近该理论值：

于是，要估计的期望值可改写为：

注意到，更优（即让估计值方差更小）的会使得样本分布的频率与其在E计算中的权重更加相关。这也是该方法得名“重要性采样”的原因。

重要性采样常用于蒙特卡洛积分。当${\displaystyle P}$]即为实函数${\displaystyle X:\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$的积分。